Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Функция называется всюду определенной, если ее область определения совпадает с областью от­правления, в противном случае она называется частичной. Будем говорить, что всюду определен­ная функция f заданная на A x B, отображает множество A в множество B, и писать f: A B . Иногда для краткости всюду определенную фун­кцию называют просто функцией. Всюду опреде­ленная функция называется сюръекцией, если ее область значений совпадает с областью прибытия. Будем говорить, что сюръекция, заданная на A x B , отображает множество A на множество B. Гово­рят, что сюръекция f: A A отображает множес­тво A на себя.

Всюду определенная функция f , заданная на A x B называется инъекцией, если для каждого b єB не существует более одного элемента a є A , удовлетворяющего условию b = f (a). Сюръек-тивная и инъективная функция называется биек-цией. Говорят, что биективная функция на A x B взаимно однозначно отображает множество A на множество B. Конечные области отправления и прибытия биекции состоят из одинакового числа элементов, а бесконечные — равномощны.

Бинарное отношение E на A называется эк­вивалентностью, если оно рефлексивно: aEa для любого a є A; симметрично: aEb влечет bEa для любых a,b є A; транзитивно: aEb и bEc влечет aEc для любых a,b,c є A . Отношение равенства D является эквивалентностью. Разбиением S мно­жества A называется любая система непустых под­множеств множества A, таких что каждый элемент множества A принадлежит только одному из них. Множества, принадлежащие разбиению S , назы­ваются слоями или смежными классами разбиения S.

Каждой эквивалентности E на A можно пос­тавить во взаимно однозначное соответствие раз­биение S множества A, и наоборот, по следующе­му правилу: если aEb , то a и_Ь помещаем в один слой разбиения S , если же aEb , то в разные. Так, связанные эквивалентность E и разбиение S на­зываются соответствующими друг другу. Равенству D на A соответствует разбиение множества A, состоящее из одноэлементных слоев.

Разбиение S, соответствующее эквивалент­ности E на A, называется фактор-множеством от A по E и обозначается A \ E. Сюръекция fE : A A \ E, которая каждому элементу a є A ставит в соответствие содержащий его слой раз­биения S, называется каноническим отображе­нием A на A \ E. Каноническое отображение fE : A A \ E будет биекцией в том и только том случае, когда эквивалентность E совпадает с ра­венством D.

Пусть f — сюръекция, отображающая A на B. Определим на A эквивалентность E , полагая aEb в том и только той случае, когда f (a) = f (b). Слои разбиения S , соответствующего эквивален­тности E , представляют собой полные прообразы в A элементов множества B. Ставя в соответствие каждому элементу множества B его полный про­образ в A, получаем биекцию, отображающую B на A \ E . Эта биекция называется каноническим отображением B на A \ E. Эквивалентность E называется ядерной для функции f .

Бинарное отношение на множестве A назы­вается квазипорядком, если оно рефлексивно и транзитивно. Частичным порядком называется квазипорядок P , удовлетворяющий условию ан­тисимметричности: aPb и bPa влечет a = b для всех a,b є A . Для частичного порядка будем ис­пользовать специальное обозначение <. Если a < b и a ф b , то будем писать a < b и говорить, что a меньше b . Запись a < b означает, что a меньше или равно b . Элемент a є A называется наиболь­шим в A относительно частичного порядка < на A , если b < a для всех b є A ; наименьшим — если a < b. Элементы a и b множества A называются сравнимыми относительно частичного порядка < на A, если a < b или b < a . Частичный порядок < на A называется линейным порядком на A, если любые a,b є A сравнимы относительно <. Мно­жество, на котором задан частичный порядок, на­зывается частично упорядоченным; линейный — линейно упорядоченным или цепью.

Бинарное отношение Q на B x A называет­ся обратным к отношению P на A x B , если оно удовлетворяет условию: aPb равносильно bQa для всех a є A и b єB . Операция *, которая ставит в соответствие каждому отношению P на A x B обратное ему отношение P* на B x A , называет­ся обращением отношения P. Произведением отношений P на AxB и Q на BxC называется отношение R на A xC , удовлетворяющее усло­вию: для любых a є A и c єC утверждение «сущес­твует b єB , такое, что aPb и bQc » равносильно утверждению aRc. Операция о , которая ставит в соответствие отношениям P на A x B и Q на B x C их произведение P о Q на A xC , называется умножением отношений. Произведение H = F oG функциональных отношений F и G соответствует функция h = gf , называемая суперпозицией функ­ций f и g , соответствующих отношениям F и G . Если xFoGy , то пишут y = g(f (x)) = gf (x).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа