Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 56

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Алгеброй отношений на A называется множес­тво всех бинарных отношений на A с заданными на нем операциями u, n, , о и *. В алгебре от­ношений справедливы все основные тождества булевой алгебры. Роль операций + , и ' в алгебре отношений выполняют соответственно операции объединения, пересечения и дополнения отно­шений. Операции о и * подчиняются следующим тождествам:

 

(P * )'=P,

(61)

(PoQR = Pо(QоR),

(62)

(PoQ)* = Q* оP*,

(63)

P ==(P ^

(64)

(PuQ)* = P* uQ*,

(65)

(PnQ)* = P* nQ*,

(66)

Pо(QuR) = (PoQ)u(PоR),

(67)

(PuQ)оR = (PоR)u(QоR),

(68)

которые, вместе с основными тождествами булевой алгебры, считаются основным тождествами в ал­гебре отношений. Аналог двух последних тождеств для операции n неверен, вместо них имеют место включения

Pо(QnR(PoQ)n(PoR), (69)

(P nQ) oR с (P oR) n(Q oR). (70)

Символ P , Q и R обозначают произвольные бинарные отношения на A .

4. Предикаты

В этом подразделе описывается формальный язык — алгебра предикатов, с помощью которого можно математически выражать предикаты, реа­лизуемые испытуемым (см. п. 1). Вначале рассмот­рим алгебру логики, которую приходится исполь­зовать при введении алгебры предикатов. Введем множество X = {0,1}. Символы 0 и 1 называются булевыми элементами. Символ 0 называется ну­лем или ложью, символ 1 — единицей или истиной. Переменная, заданная на множестве 2 , называет­ся булевой. Булевы переменные будем обозначать строчными буквами греческого алфавита.

Одноместная операция р = а, отображающая множество 2 на себя и определяемая равенствами

0 = 1, (71)

и

1 =0 , (72)

называется булевым отрицанием. Двухместная

операция X={0,1}, отображающая 22 на 2 и оп­ределяемая равенствами

0 v 0 = 0,                       (73)

0v 1 = 1,                       (74)

1v 0 = 1,                       (75)

1 v1 = 1,                       (76)

называется булевой дизьюнкцией или булевым сло­жением. Двухместная операция у = алв = а^р = ар, отображающая 22 на 2 и определяемая равенс­твами

0 л 0 = 0, (77)

0л 1 = 0, (78)

1л 0 = 0, (79)

1 л 1 = 1, (80)

называется булевой конъюнкцией или булевым умножением.

Множество 2 , вместе с заданными на нем опе­рациями , v ил , называется алгеброй логики. Алгебра логики является разновидностью булевой алгебры. Роль операций + , и ' в алгебре логики выполняют соответственно операции v, л и . В алгебре логики справедливы все основные тож­дества булевой алгебры. Функции, получаемые суперпозицией операций , v ил , называются булевыми функциями. Булева функция

a3p=avp (81)

называется импликацией, булева функция

а ~ р = (аз р) л (р за) — (82)

равнозначностью.

Предикатом P , заданным на Un, называется любая функция Z = P(x1,x2,...,xn), отображаю­щая множество Un в множество 2. Переменные x1,x2,...,xn называются предметными, а их значе­ния — предметами. Если n = 1, то предикат P на­зывается унарным, если n = 2 — бинарным, если n = 3 — тернарным. При произвольной значении n предикат называется n -арным. Если множество U конечно, то предикат P называется конечным, в противном случае — бесконечным. Предикат, равный единице для всех наборов значений своих аргументов, называется тождественно истинным; равный нулю — тождественно ложным. Обознача­ем эти предикаты символами 1 и 0 .

Дизъюнкцией или логическим сложением пре­дикатов P и Q называется предикат PvQ, значе­ния которого при любых x1, x2,..., xn єU определя­ются по формуле

(P vQ)(x1,x2V..,xn ) = = P (x1, x2,..., xn ) vQ(x1, x2,..., xn ).

Конъюнкцией или логическим сложением предикатов X={0,1} и Q называется предикат X={0,1} со значениями

(P лQ )(x, x2,..., xn) =

v     u>\ v 2     n> (84)

= P (x1, x2,^, xn ) лQ(Xl, x2,..., xn ).

Отрицанием предиката P называется предикат P со значениями

(P)(x1, x2,..., xn) = P (x1, x2,^, xn) (85)

В правой части равенств (83) и (85) знаки v , л ,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа