Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

В формальной записи законы рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановоч-ности имеют вид следующих логических уравне­ний:

(10)

VxDk (x, x) = 1, (9)

VxVy (Dk (x, y) з Dk (y, x)) = 1,

VxVyVz (Dk (x, y) л Dk (y, Z) з Dk (x, z)) = 1, (11)

VRk VxVy (Rk (x) л Dk (x, y) з Rk (y)) = 1. (12)

Здесь переменные x, y, z заданы на множестве всех идей Sk; переменная Rk задана на множест­ве всех предикатов, которые определены на мно­жестве Sk. Символом Dk обозначен переменный предикат, связываемый логическими уравнения­ми (9)-(12). Символы л из означают операции конъюнкции и импликации логических констант.

Выше мы определили предикат равенства идей Dk и вывели его четыре свойства, отправляясь от предиката равенства предикатов (4) и пользуясь выражением (5). Однако хотелось бы построить те­орию равенства идей на основаниях, не зависящих от понятия конечного предиката, которое в нашем изложении выполняет лишь вспомогательную роль прототипа понятия идеи. Как доказывается в приведенной ниже теореме, это можно сделать, опираясь на свойства (9)-(12) предиката равенства идей как на аксиомы. Ценность теоремы состоит в том, что она дает аксиоматическое определение предиката равенства идей.

Теорема 1. Для того чтобы предикат Dk, задан­ный на множестве Sk х Sk , был представим в форме (5), необходимо и достаточно, чтобы он удовлет­ворял условиям рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановочности.

Доказательство. Выше мы показали, что преди­кат Dk, определенный выражением (6), удовлетво­ряет условиям рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановочности. Таким об­разом, необходимость уже доказана. Доказываем достаточность. Пусть на Sk х Sk задан предикат Dk, удовлетворяющий условиям рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановоч-ности. Для каждого x eSk образуем множество Tx всех y таких, что Dk (x, y) = 1. В силу рефлек­сивности предиката Dk имеем Dk (x) = 1, поэтому xeTx . Таким образом, множество Tx содержит в своем составе хотя бы один элемент x .

Вместе с тем, других элементов множество Tx не имеет. В самом деле, предположим против­ное: для некоторого x eSk существуют не сов­падающие друг с другом элементы y1 и y2 такие, что y1, y2 eTx. Это означает, что Dk (x, y1) = 1 и Dk (x, y1) = 1. Из предпоследнего равенства по свойству симметричности предиката Dk получа­ем Dk ( y1, x) = 1. Из двух последних равенств по свойству транзитивности предиката Dk выводим Dk ( y1, y2) = 1. Выберем предикат Rk, фигурирую­щий в условии подстановочности для предиката Dk, с таким расчетом, чтобы Rk ( y1) = 1, но Rk ( y2) = 0. Поскольку предикат Rk можно взять произвольным, то такой выбор всегда возможен. По свойству подстановочности предиката Dk из равенства Rk ( y1) = 1 и Dk ( y1, y2) = 1 выводим Rk ( y2) = 1. Получили противоречие. Итак, мы до­казали, что в множестве Tx нет других элементов, кроме элемента х, то есть что Tx = {x}.

Докажем теперь, что равенство (5) выполняется
при любых
x, y eSk. Рассмотрим случай, когда x и
y таковы, что Dk (x, y) = 1. Это значит, что y2 e Tx,
y = {x},    x = y,         ) = Ф (y),    Dk (Ф( ^,Ф (y)) = 1.

Когда же х и у таковы, что Dk (x, y) = 0 , то y g Tx y ф {x}, x ф y, Ф(x) ф Ф(y), Dk(Ф(x),Ф(y)) = 0. Те­орема доказана.

Выводы

Проанализированы перспективы науки и тех­ники в области создания систем искусственного интеллекта и обоснована необходимость развития теории интеллекта и соответствующего математи­ческого аппарата. В качестве последнего предло­жена алгебра конечных предикатов. Рассмотрен ряд задач, решаемых с помощью предложенного подхода.Для моделирования интеллекта человека и фор­мального описания закономерностей интеллекту­альной деятельности на языке алгебры конечных предикатов необходим абстрактный эквивалент этой алгебры, названный алгеброй идей. В роли прототипа алгебры идей в работе использована ал­гебра одноместных k -ичных предикатов первого порядка. Разработана аксиоматика алгебры идей.

Список литературы: 1. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Те­ория интеллекта. Математические средства [Текст] / Ю.П. Шабанов-Кушнаренко. — Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1984. — 144 с. 2. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Технические средства [Текст] / Ю.П. Шабанов-Кушнаренко. — Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1986. — 136 с. 3. Шабанов-Кушнаренко Ю.П. Теория интеллекта. Проблемы и перспективы [Текст] / Ю.П. Шабанов-Кушнаренко. — Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1987. — 59 с. 4. Нильсон Н. Принципы искусствен­ного интеллекта [Текст] / Н. Нильсон//М.: Радио и связь, 1985. — 210 с. 5. Гильберт Д. Основания математики. Логи­ческие исчисления и формализация арифметики [Текст] / Д. Гильберт, П. Бернайс. — М.: Наука, 1979. — 619 с. 6. Гильберт Д. Основания геометрии [Текст] / Д. Гильберт. — М.; Л.: Гостехиздат. 1948. — 394 с. 7. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. — М.: Наука, 1967. — 338 с. 8. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 476 с. 9. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. — М.: Наука, 1971. — 190 с.

Поступила в редколлегию 03.03.2010

 

УДК 519.7

Модель рівності ідей / Бондаренко М.Ф., Шабанов-Кушнаренко С.Ю., Шабанов-Кушнаренко Ю.П. // Біоніка інтелекту: наук.-техн. журнал. — 2010. — № 2 (73). —

С. 3—15.

На основі алгебри скінченних предикатів запропоно­вано абстрактний аксіоматичний підхід до проблеми по­будови математичного апарату для формалізації та ефек­тивного моделювання систем штучного інтелекту.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа