Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 61

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Кванторы по предикатной переменной Pj (j є {1,2,—,r}) вычисляются по формулам:

VPR (x1, x2,—, xn ЛА—Р,-,Рг ) =

(132)

pi ЛunR (X1, x2, , xn 1,Р2,...,Р,.,РГ ),

ЗРЯ (x1, x2,..., xn ,Р1,Р2 — .,Р],...,РГ ) =

j       у    1'     2'        '     II'     1'     2' 'j'

(133)

=    V   R (x1, x2, , x„ 12, — ,Р;,Р.).

Аналогичным способом можно определить опера­цию взятия кванторов по предикатным перемен­ным второго и более высокого порядков.

Приводим примеры перевода на формальный язык математических утверждений с участием кванторов по предикатным переменным:

(134)

1) «Для всех a и b a = b в том и только том слу­чае, когда a є A равносильно b є A при любом A »: VAVaVb (D (a,b) ~ (A (a) ~ A (b)));

2) «Для всех A и B A = B в том и только том случае, когда a є A равносильно a є B при любом a »: VAVBVa (D (A,B) ~ (A (a) ~ B (a)));

3) «Существует множество M такое, что для всех x x єМ »: 3MVxM(x). Заметим, что преди­кат равенства от предикатов первого порядка оп­ределяется формулой

=   V PAPA.

AcUn j

аналогичной выражению (93).

Мы рассмотрели ряд операций над предиката­ми, отображающих множество всех предикатов, заданных на Un, в себя. Это — конъюнкция, ди­зъюнкция и отрицание предикатов, а также кван­торы общности и существования по переменным xt = 1,2,—,n). Введём ещё семейство всех преди­катов, соответствующих отношениям A с Un, каж­дый из которых рассматривается как константная операция A, принимающая на всех наборах пре­дикатов одно и то же значение A. Введём также операцию узнавания предиката A по предикатной переменной Р] (j є{1,2,...,?}), определяемую следу­ющим образом:

(135)

I" 1, если Р = A, [0, если Р} ф A.:Здесь символы 1 и 0 обозначают тождественно истинный и тождественно ложный предикаты.

Любую t -местную операцию F над предиката­ми P1,P2,..,Pt можно следующим образом выразить в виде суперпозиции уже введенных операций:

F 12,..,Р ) =

v      B(A1,A2,...,АР1^2,-^ (136).

A1,A2,..,,A, cUn

Здесь B (A1, A2,..., A ) = F (A1, A2,..., A) — фиксиро­ванный предикат, представляющий собой значение операции F на наборе предикатов (A1,A2,...,At). Таким образом, система операций, состоящая из дизъюнкции, конъюнкции, узнаваний всевозмож­ных предикатов по переменным Р1,Р2, ..,Р1 и всех константных операций, полна.

Узнавание каждого предиката A по любой из предикатных переменных Р,(j = 1,2,...,t) выража­ется в виде следующей суперпозиции кванторов общности, операции равнозначности предикатов и фиксированного (индивидуального) предиката A:

PA =VxxVx2 ..*xn (Р] (x1, x2,-, xn) ~ A (x1, x2,-, xn)) (137) Операция равнозначности предикатов

Р ~Q = PQ v PQ (138) выражается через дизъюнкцию, конъюнкцию и от­рицание предикатов. Пусть x = (x1, x2,..., xn) — набор предметных переменных. Квантором общности по набору x назовем операцию

VxP (x ) = Vx1Vx2... VxnP (x1, x2,..., xn). (139)

Мы видим, что любую операцию над предиката­ми можно выразить суперпозицией операций Vx, v , л , и всех константных операций (т.е. инди­видуальных предикатов). Такая система операций несократима.

Операции над предикатами, которые прини­мают значения только из множества 0,1, назы­ваются предикатами от предикатов. Каждому пре­дикату T от предикатов P[,P2,..,Pt соответствует некоторое отношение T, связывающее отношения P1,P2, . .,Pt. Любой t -арный предикат T от преди­катов Р1,Р2,..,Р1 можно выразить формулой вида:

T(Р,,Р2,...,Р.)=      v     Р/1 P2A2 ...PtA (140) Выводы

Мы видим, что система всех узнаваний преди­катов, вместе с операциями дизъюнкции и конъ­юнкции предикатов, полна при выражении с ее помощью любого предиката от предикатов. Если желательно обойтись без узнаваний предикатов, то для выражения любых предикатов от предикатов можно воспользоваться описанной в предыдущем абзаце системой, состоящей из операций v , л , , Vx и всех константных операций.

Предикаты от предикатов используются для формальной записи математических утверждений. Если предикат от предикатов принимает значение 1, то ему соответствует истинное утверждение, если 0 — ложное. Приводим примеры перевода истинных и ложных утверждений на формальный язык:

1)  "Для любого множества М существует эле­мент x такой, что x єМ ": VM3xM (x);

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа