Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 71

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

a v (b л b) = a . (10)

Следовательно, названия, данные нами этим опе­рациям, в точности соответствуют тому содержа­нию, которое им приписывается булевой алгеброй. Тождественно истинная мысль определяется фор­мулой

0          = x v x, (11)

мысль тождественно ложную определяем равенс­твом

1          = x л x . (12)

Как доказывается в булевой алгебре, эти определе­ния не зависят от выбора x єN .

Только что мы пришли к выводу о существо­вании операций отрицания, дизъюнкции и ко­нъюнкции, определенных на множестве мыслей. Иными словами, мы установили, что множество мыслей человека представляет собой булеву алгеб­ру. Если б это было, действительно, так, то такой результат можно было бы с полным правом считать заметным вкладом в дело познания интеллекта че­ловека. Но так ли это на самом деле? Можно ли понимать сделанный вывод в том смысле, что ра­зум человека фактически (т.е. на самом деле, а не в каком-то формальном смысле) способен без каких бы то ни было ограничений производить упомя­нутые булевы операции над любыми своими мыс­лями? Исчерпывающий образом ответить на этот вопрос непросто. Чтобы сделать это, нам придется на время остановиться и, не торопясь, вниматель­но рассмотреть все обстоятельства дела.

Прежде всего, можно считать надежно обос­нованной формальную сторону вопроса. По­лученный результат заключается в следующем. Если имеется произвольно выбранный предикат P(X,Y), заданный на декартовом произведении A х B каких-нибудь множеств A и B, то отсюда следует существование множеств M, N и функ­ций x = f (X), у = g(Y), отображающих соответс­твенно A на M и B на N , а также существование предикатов эквивалентности E1(X1, X2), E2 (Y1, Y2), заданных на A х A и B х B , предикатов равенства D1(x1,x2), D2(y1,y2), заданных на MхM NхN, и предиката L(x, у), заданного на M х N . Пере­численные математические объекты связаны сле­дующими равенствами, справедливыми для любых X, X1, X2 є A и Y ,Y1,Y2 єB :

E1(X1,X2) = VY є B(P(X1,Y) ~ P(X2,Y)),            (13)

E2(Y1, Y2) = VX є A(P(XY) ~ P(X,Y2)),   (14)

ад, X2) = ]\(f(X1), g(X2)),         (15)

E2(Y1,Y2) = A(f(Y1), g(Y2)), (16)

P(X ,Y) = L(f( X), g(Y)).         (17)

Предикаты E1 и E2 определяются предикатом P однозначно. Функции же f , g и предикаты D1, D2, L определяются предикатом P хотя и неод­нозначно, но с точностью до обозначений элемен­тов множеств M и N или, как говорят матема­тики, с точностью до изоморфизма. Означает это следующее. Переобозначим элементы множеств M и N с помощью биекций ф и \\і, отображаю­щих M на M' и N на N'. В результате получа­ем:

M' (x) = M (ф-1( X)), (18) N'(у') = N      у')). (19)

После такого переобозначения функции x = f(X) и у = g(Y) превращаются в функции x' = f'(X) и у' = g'(Y), отображающие A на M' и B на N и определяемые зависимостями

x' = ф^(Х)), (20)

у' = ¥( g(Y)). (21)

Предикаты D1(x1,x2) и D2(у1,у2) превращают­ся в предикаты D{(x(,x'2) и D'2(у{,у2), заданные на M' х M' и N' х N' и определяемые равенствами:

ад x2) = ад1^;)^-1^)), (22) Щ(у[, у2) = А(¥-1(уа ¥-12)). (23)

Предикат L(x, у) превращается в предикат L(x', у'), заданный на M' х N' и определяемый равенством

L' (x', у') = Lfo-1(x'       у')). (24)

Если зафиксировать предикат P , то из пред­положения, что f, g, D1, D2, L удовлетворяют условиям (13) и (17), следует, что f , g', D1 , D2 , L также будут им удовлетворять при любом, выбо­ре ф и \\і. Если же известно, что f , g', D1 , D2 , L , наряду с f , g , D1, D2, L , удовлетворяют уравнениям (13) и (17) при одном и том же P , то всегда найдутся такие биекций фи \\і, для которых будут выполняться равенства (18) и (24) при любых x',x[,x'2 єM' и у',у/,у2 .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа