Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 76

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Предикат P заданный на M х M, называется рефлексивным, если

Vx eM P(x, x), симметричным, если

Vx1, x2 є M (P(x1, x2) з P(x2, x1)) и транзитивным, если

Vx1, x2, x3 eM (P(x1, x2)лP(x2, x3)зP(x1, x2)).

Любой рефлексивный, симметричный и тран­зитивный предикат называется эквивалентностью. Рассмотрим следующие два свойства предиката эквивалентности.

Свойство 1. Для любого предиката эквивалент­ности P заданного на M х M, найдутся непустое множество N и функция f , отображающая мно­жество M в множество N , такие, что при любых x1, x2 є M будет выполняться равенство

P(x1,        = D(f(x1), f(x2)). (1)

Доказательство. Для каждого x1 є M существу­ет единственное множество 5 всех x2 є M , таких что P(x1, x2) = 1. В роли множества N принимаем систему всех множеств Sx1 , где x1 єM . Множество N не пусто. В роли f принимаем функцию, кото­рая ставит в соответствие каждому элементу x1 єM множество 5 , так что f(x1) = Sx1 . Докажем, что при таком выборе функции f равенство (1) выпол­няется при любых x1, x2 є M. Рассмотрим случай, когда x1 и x2 таковы, что P (x1, x2) = 1. Чтобы убе­диться в том, что в этом случае D(f (x1), f (x2)) = 1 , достаточно доказать, что Sx1 = Sx2. Докажем это. Пусть x є 5 , тогда P(x1, x) = 1. По свойству сим­метричности предиката P из P(x1, x2) = 1 выво­дим P(x2, x1) = 1. По свойству транзитивности предиката P из P(x2, x1) = 1 и P(x1, x) = 1 выводим P(x2, x) = 1. Отсюда следует, что x є Sx2 . Итак, мы получили, что 5 с Sx2. Предположим теперь, что x є Sx2. Тогда P(x2, x) = 1. По свойству транзитив­ности предиката P из P(x1, x2) = 1 и P(x2, x) = 1 выводим P(x1, x) = 1. Отсюда следует, что x є 5. Итак, мы получили, что Sx2 с 5 . Вместе взятые, эти два включения дают равенство 5 = Sx2 мно­жеств Sx1 и 5x2. Рассмотрим оставшийся случай, при котором x1 и x2 таковы, что P(x1, x2) = 0 . Что­бы убедиться в том, что теперь и D( f (x1), f (x2)) = 0 , достаточно доказать, что 5x2 ф 5x1. Докажем это. Из P(x1, x2) = 0 следует x2 g5x1. По свойству реф­лексивности предиката P имеем P(x2, x2) = 1, от­сюда выводим x2 є 5x2. Следовательно, 5x1 ф 5x2. Мы доказали, что значения предикатов P (x1, x2) и D( f (x1), f (x2)) совпадают при любых x1, x2 є M.

Свойство 2. Любой предикат P , заданный на M х M и выражающийся при любых x1, x2 є M в виде (1), есть предикат эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность, симметрич­ность и транзитивность предиката P непосредс­твенно следуют из равенства (1) и из рефлексивнос­ти, симметричности и транзитивности предиката равенства D.

Функция f, отображающая множество M в множество N и фигурирующая в равенстве (1), на­зывается характеристической функцией предиката эквивалентности [3]. Из свойств 1 и 2 непосредс­твенно следует, что любые предикаты эквивален­тности и только предикаты эквивалентности мо­гут быть представлены в виде (1) при подходящем выборе множества N и функции f . Каким бы ни был предикат P , если он оказывается рефлексив­ным, симметричным и транзитивным, то для него всегда найдутся множество N и функция f, при помощи которых можно будет адекватно матема­тически выразить строение этого предиката. Та­ким образом, правая часть равенства (1) представ­ляет собой общий вид предиката эквивалентности. С математической точки зрения полученный ре­зультат очень прост, тем не менее он весьма важен, поскольку указывает систему легко проверяемых в чисто физическом эксперименте необходимых и достаточных признаков, с помощью которых всег­да можно установить, допускает ли объект, реали­зующий предикат P , полноценное формальное описание методом нулевого прибора. Если сис­тема, имеющая два входа x1 и x2 и один выход t, реализует предикат P(x1, x2) = t, и этот предикат удовлетворяет условиям рефлексивности, симмет­ричности и транзитивности, то ее можно описать в точных терминах, применяя метод нулевого при­бора. Если же хотя бы одно из этих трех условий не выполняется, то метод нулевого прибора для тако­го объекта неприменим. Методом нулевого прибо­ра можно изучать любые системы преобразования сигналов, для которых выполняются свойства реф­лексивности, симметричности и транзитивности.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа