Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Как в повседневной речи, так и особенно в мате­матике люди постоянно пользуются законом под­становочности, и нет никаких свидетельств, чтобы это приводило к каким-либо сбоям в мышлении. Отметим, что закон подстановочности родстве­нен правилу подстановки, которое рассматрива­ется в курсах исчисления высказываний. Это пра­вило формулируют следующим образом: «Пусть А — формула, содержащая букву A. Тогда, если А — истинная формула в исчислении высказыва­ний, то, заменяя в ней букву A всюду, где она вхо­дит, произвольной формулой В, мы также получим истинную формулу».

2. Аксиоматическое задание предиката равенства идей

В [1] мы сформулировали четыре свойства пре­диката равенства идей — рефлексивность, симмет­ричность, транзитивность и подстановочность. Возникает вопрос — полна ли эта система свойств, иными словами, определяет ли она характеризуе­мый ею объект — предикат Dk единственным об­разом? Оказывается, — да, определяет. Правда, требование единственности предиката Dk нельзя понимать слишком буквально. Дело в том, что мыс­ли испытуемого идеальны, бестелесны, их нельзя собрать в множество Sk. Множество Sk можно об­разовать только из имен мыслей. А в выборе имен мыслей имеется известный произвол. Так, одну и ту же мысль можно представить в виде различных по виду, но тождественных по смыслу высказы­ваний. Таким образом, в зависимости от выбора способа обозначения одних и тех же мыслей, мы приходим к тому или иному множеству идей Sk . Поэтому и предикаты равенства идей получаются разными.

Однако ясно, что способ обозначения мыслей не имеет существенного значения для характерис­тики предиката равенства идей. Конечно, мысли должны быть как-то обозначены, но каким именно способом — это несущественно. Поэтому разумнее говорить о единственности задания предиката ра­венства идей его свойствами лишь с точностью до обозначения мыслей. В математике так понимае­мую единственность объекта характеризуют с по­мощью понятия изоморфизма моделей. Любая мо­дель представляет собой некоторое множество Sk с заданными на его декартовых степенях одномест­ными или многоместными предикатами A1, A2,..., A , которые отображают соответствующую декартову степень множества M на множество 2 . Записы­вают модель в виде (M, {A1,A2,...,A}). В нашем случае в роли множества M выступает множество Sk — носитель алгебры идей, а в роли предикатов A1, A2,..., A — единственный двуместный предикат равенства идей Dk. Заметим, что в математике, кроме понятия модели, используют также понятие алгебры [5, с. 47]. Основная задача этого раздела статьи состоит в том, чтобы ввести носитель алгеб­ры идей и отношение равенства на нем.Пусть S k и S "k — произвольно выбранные множества имен мыслей испытуемого, D\ и D"k — предикаты равенства, вводимые на декартовых квадратах этих множеств поведением испытуе­мого. Модели I^S\, Dк) и "k, Dбудут изо­морфны друг другу, если найдется такая биекция Q: S к S "k , для которой при любых x, y eS \ имеет место равенство (8) [1]. Это равенство оз­начает, что если имена мыслей, содержащиеся в множестве S \ , заменить с помощью биекции Q именами тех же мыслей, содержащимися в мно­жестве S "k , то предикат D "k совпадет с предика­том Rk (y).

Таким образом, если, при наличии изоморфизма моделей равенства идей, каждый раз производить пересчет реакций испытуемого от произвольной системы обозначений мыслей к некой стандар­тной системе, то обнаружится, что испытуемый при любом способе обозначения мыслей реализует своим поведением по существу один и тот же пре­дикат равенства идей. Доказанные ранее равенство (8) [1] и теорема 1 [1] свидетельствуют, что если предикаты D \ и D "k заданої на декартовых квад­ратах равномощных множеств S S "k и облада­ют свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности и подстановочности, то биекция Q, для которой имеет место равенство (8) [1], су­ществует. Следовательно, система свойств (9)-(12) [1] предиката равенства идей действительно полна. Мы видим, что понятие полноты системы аксиом модели (это понятие применимо также и к алгеб­рам) тесно связано с понятием изоморфизма моде­лей. Если все равномощные модели данного типа удовлетворяют одной и той же системе аксиом и при этом оказываются изоморфными друг другу, то такая система аксиом по определению считается полной. Она полна в том смысле, что ее нельзя по­полнить независимыми аксиомами без того, чтобы эта система не стала противоречивой.

В опытах над испытуемым свойства (9)-(12) [1] предиката равенства идей выступают в роли экспе­риментально проверяемых постулатов или аксиом. Для того чтобы опыты имели доказательную силу, необходимо, чтобы система всех проверяемых в эксперименте аксиом была полна. Объем факти­чески выполняемой экспериментальной работы желательно иметь минимальным, поэтому к систе­ме аксиом предъявляется еще и требование эконом­ности. Экономность системы аксиом достигается в том случае, если, во-первых, система не содержит лишних аксиом, и, во-вторых, каждая аксиома до предела упрощена. Под лишними понимаются та­кие аксиомы, исключение которых из системы не лишает ее полноты. Простота аксиомы пони­мается в том смысле, что ее экспериментальная проверка требует минимума труда. Сокращение до минимума числа аксиом в системе при сохранении ею свойства полноты достигается исключением из системы зависимых аксиом, то есть таких аксиом, которые могут быть логически выведены из сово­купности оставшихся аксиом. После исключения всех зависимых аксиом из системы оставшиеся аксиомы становятся независимыми друг от друга, и дальнейшее уменьшение числа аксиом в системе становится невозможным. Такую систему аксиом называют несократимой.

Являются ли независимыми друг от друга акси­омы рефлексивности, симметричности, транзи­тивности и подстановочности? Оказывается, нет. Аксиомы симметричности и транзитивности мож­но вывести из аксиомы подстановочности. Выво­дим симметричность.

Если x = y , то Dk (x, y) з Dk (y, x) = = Dk(x, x) з Dk(x, x) = 1. Если же x ф y , то, полагая Rk(x) = 1 и Rk(y) = 0 и решая уравнение (12) [1], находим Dk (x, y) = 0. Заменяя в уравнении (12) [1] x на y и y на x и полагая Rk (x) = 0 и Rk (y) = 1, находим Dk (y, x) = 0. Следовательно, и в этом слу­чае Dk (x, y) з Dk (y, x) = 0 з 0 = 1. Выводим тран­зитивность. В роли Rk (y) принимаем предикат Dk (x, y), где x — произвольно фиксированный элемент множества Sk. По закону подстановоч­ности для любых y, z eSk из Rk (y) = Dk (x, y) = 1 и Dk (y, z) = 1 выводим Rk (z) = Dk (x, z) = 1. Итак, мы приходим к более экономному аксиоматическому заданию предиката равенства идей: любой преди­кат Dk, заданный на множестве Sk х Sk и подчиня­ющийся законам рефлексивности и подстановоч-ности, есть предикат равенства идей.

Независимость аксиом, в общем случае связы­вающих переменные предикаты A1, A2,..., A, до­казывают методом интерпретаций. Суть этого ме­тода состоит в том, что пытаются подобрать такие фиксированные предикаты A11, A21,..., At1, которые после подстановки A1 = A11, A2 = A21,..., A = At1 об­ращают первую аксиому в противоречие, а осталь­ные аксиомы — в тождества. Затем пытаются по­добрать предикаты A12,A22,...,A2, которые после такой же подстановки обращают вторую аксиому а противоречие, а остальные — в тождества, и так далее. Если для каждой аксиомы рассматриваемой системы удается подобрать предикаты с только что указанным свойством, то такая система аксиом бу­дет несократимой. Ни одну из аксиом этой системы невозможно вывести из совокупности остальных.

Докажем методом интерпретаций независи­мость друг от друга аксиом рефлексивности (9) [1] и подстановочности (12) [1]. Подставляем вмес­то переменного предиката Dk, фигурирующего в указанных аксиомах, тождественно ложный пре­дикат 0. В результате уравнение (9) [1] обращает­ся в противоречие вида 0=1, а уравнение (12) [1] — в тождество вида 1=1. Подставляя же вместо Dk тождественно истинный предикат 1, находим, чтоон удовлетворяет условию рефлексивности, но не удовлетворяет условию подстановочности. Чтобы убедиться в последнем, достаточно обратить вни­мание на то, что всегда существуют такие значения переменных Rk, x и y , для которых Rk (x) = 1 и Rk (y) = 0.

Можно ли из аксиом рефлексивности, симмет­ричности, транзитивности и подстановочности образовать другие полные несократимые системы аксиом, отличные от системы, образованной ак­сиомами рефлексивности и подстановочности? Оказывается, нельзя. В самом деле, исключим из исходной системы четырех аксиом аксиому реф­лексивности. Оставшимся трем аксиомам симмет­ричности (10), транзитивности (11) и подстано-вочности (12) [1] удовлетворяет, кроме предиката равенства, еще и тождественно ложный предикат 0. Таким образом, любые системы, образованные из оставшихся аксиом, будут неполными. Исключим теперь из исходной системы аксиому подстано-вочности. Оставшимся трем аксиомам рефлексив­ности (9), симметричности (10) и транзитивности

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа