Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 84

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Для построения теории совокупности каких-нибудь понятий каждое из них представляем фор­мально в виде некоторого предиката. В результате приходим к совокупности S предикатов. Введен­ные выше термины переносятся с предикатов на соответствующие им понятия. Т.о. можно говорить о прямых и косвенных, однозначных и многозначных, абсолютных и относительных определениях поня­тий, о первичных и вторичных понятиях, о непро­тиворечивых и противоречивых, несократимых и сократимых совокупностях понятий теории. Ка­тегории представляют собой первичные понятиятеории. Они определяются неявно с помощью свя­зывающего их уравнения (в), записываемого обыч­но в виде системы (точнее, конъюнкции) логичес­ких условий. Первичные понятия, вводимые на начальном этапе формирования теории, задаются косвенными абсолютными определениями. Логи­ческие условия, неявно определяющие первичные понятия теории, называются ее аксиомами.

Теорией Т совокупности понятий S называет­ся множество всех утверждений, которые можно логически вывести из аксиом, формально опре­деляющих понятия совокупности S. Вторичные понятия теории Т вводятся с помощью прямых оп­ределений. Этими определениями новые понятия однозначно выражаются через уже введенные ра­нее понятия. С введением каждого нового вторич­ного понятия достигается так называемое консер­вативное расширение теории. Новые аксиомы при консервативном расширении теории не привлека­ются. Если же в процессе развития теории вводят­ся новые первичные понятия, то говорят, что этим достигается неконсервативное расширение теории. В этом случае новые первичные понятия вводятся косвенными относительными определениями. В зависимости от того, вводятся ли первичные поня­тия теории до или после других понятий, они де­лятся на начальные и не начальные. Соответственно этому делятся на начальные и не начальные пер­вичные предикаты теории.

1. Натуральный ряд чисел

Первым шагом на пути к идентификации кате­гории количества является формальное описание понятий натурального числа и счета. У каждого человека есть достаточно четкое и определенное интуитивное понятие натурального числа. Имен­но оно служит объектом формального описания. Натуральные числа возникают в результате счета. Счет — это добавление единицы к уже имеющему­ся числу. Начинается счет с единицы. Прибавляя к любому натуральному числу единицу, получаем каждый раз новое число. Получаемая таким спо­собом бесконечная последовательность чисел на­зывается натуральным рядом. Натуральные числа можно складывать и умножать. Операции сложе­ния и умножения натуральных чисел коммутатив­ны и ассоциативны. Сложение и умножение связа­ны друг с другом дистрибутивным законом. Числа в натуральном ряду упорядочены.

Приступаем к формальному описанию поня­тий натурального числа и счета. Множество всех натуральных чисел обозначаем символом N. Числа в натуральном ряду упорядочиваем отображением [5] счета q:N--N. Если q(x) = y, то будем говорить, что натуральное число х предшествует натураль­ному числу y или же что число y следует за числом х. Отображение счета ставит в соответствие каж­дому натуральному числу одно следующее за ним
натуральное число, т.е. оно всюду определено и
однозначно. У каждого натурального числа не мо-
жет быть более одного предшествующего числа,
т.е. отображение счета инъективно. Отображению
счета
q(x) = у соответствует [5] предикат счета
Q (x, y), определенный на    Аксиомы нату-

рального ряда указывают связи предиката счета Q с множеством N. Множество N следует рассматри­вать как некоторое подмножество универсума U. Универсум U можно выбрать любым, даже таким, в котором не содержится ни одного множества на­туральных чисел (т.е. конечным). В последнем слу­чае система аксиом, определяющая натуральный ряд, будет противоречивой. Это означает, что она не определяет ни одного множества N, а значит, и никакого предиката Q. Если же универсум U бес­конечен, то, каким бы он ни был, система аксиом определяет в абстрактном смысле единственное множество N (с точностью до обозначений содер­жащихся в нем натуральных чисел).

С логической точки зрения аксиомы связывают два предиката: N(x) на ии Q(x, y) на их U. Полагаем, что за пределами области предикат Q прини­мает нулевые значения. Поскольку предикаты N и Q вводятся аксиомами одновременно, естественно не ограничивать область определения предиката Q заранее неизвестным множеством N. Для этого к системе аксиом надо добавить еще одно условие, носящее, скорее, более логический, чем арифме­тический, характер:

V         x,y є U(—(N(x) л N(y)) з Q(x,y)).

Это условие позволяет вводить предикат Q на множестве их U так, что всюду вне множества N-^N его значения оказываются равными нулю. К числу необходимых логико-арифметических условий от­носятся также требования унарности предиката N и бинарности предиката Q.

Множество N и предикат Q формально опреде­ляем следующими пятью свойствами, называемы­ми аксиомами натурального ряда: всюду определенности счета

V x єN By єN Q(x,y); (1)

однозначности счета

V   x,y1,y2 єN(Q(x,лQ(x,зD(y^y2)); (2) инъективности счета

V         y є N(Q(x1,y) л Q(x2,y) з D(x 1,x2)); (3) существования единицы

B y єN(Vx єN Q(x, y)); (4)

индукции

V         M с N ((By єM(V x єN—Q( x, y))) л

лО/ x,y є N(M(x) л Q(x,y) з M(y))) 3 V x є N M(x)).( )Аксиомы (1)-(5) представлены в сокращенной форме [5]. В полной записи они выразятся следу­ющим образом:

V x є U(N(x) з By є U(N(y) л Q(x,y))); (1')

V         x, y1, y2 є U(N(x) л N(л N(y2) з з (Q( x,    лQ(x,    з D( y1, y2)));

V         y є U(N(x1) л N(x2) л N(y) з з (Q(x 1, y) л Q( x2, y) з D( x1, x2)));

By є U(N(y) л V x є U(N(x) з Q(x,y))); (4')

V M,N с U(Vz є U(M(z) з N(z)) з з ((By є U(M(y) л V x є U(N(x) з Q(x, y)))) л x, y є U(N(x) л N(y) з (M(x) л Q(x, y з M(y)))) з зV x єU (N( x) з M (x)))). (5')

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа