Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 85

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Содержательно аксиома (1) означает, что за каждым членом натурального ряда следует хотя бы одно натуральное число, т.е. отображение q:N- N всюду определено. Аксиома (2) гласит, что за каж­дым членом натурального ряда следует не более одного числа. Поэтому отображение q однознач­но. Вместе взятые, аксиомы (1) и (2) означают, что отображение q функционально. Условие функцио­нальности отображения q можно записать следую­щим образом:

V x єN B !y єN Q(x,y). (6)

Аксиома (3) гласит, что в натуральном ряду каж­дому числу может предшествовать не более одного числа. Это означает, что отображение q инъектив-но. Аксиома (4) гласит, что в натуральном ряду содержится число, у которого нет предшествую­щего числа. Наконец, аксиома (5) выражает при­нцип математической индукции: если свойством М обладает первое число натурального ряда и, кроме того, из предположения, что свойством М обладает число х, следует, что тем же свойством обладает и число y = q(x), то свойством М обладают все нату­ральные числа.

Приведем пример объекта, удовлетворяющего всем аксиомам натурального ряда. Это — ряд кодов 1, 11, 111,... . Роль первого числа в нем выполняет символ 1. Каждый последующий код получает­ся из предыдущего приписыванием к нему слева символа 1. Ясно, что для каждого кода существует единственный следующий. У каждого кода не мо­жет быть более одного предшествующего. Код 1 не имеет предшествующего. Наконец, начиная с кода 1 и переходя на каждом шаге к следующему коду, мы можем обойти все коды.

Определим понятие единицы. С этой целью обозначим символом J множество, включенное в N, элементы которого называются единицами. Мно­жество J определим соответствующим ему преди­катом J на N, который выражается формулой

J(y) = V x єN—Q(x,y). (7)

Согласно определению (7), множество J состо­ит из всех натуральных чисел, для каждого из ко­торых нет предшествующего натурального числа. Согласно аксиоме (4), в множестве J содержится, по крайней мере, одна единица. Аксиомы сущест­вования единицы и индукции можно записать ко­роче, используя предикат J:

By єN J (y); (8) V M с N((Bx є M J(x)) л (V x, y є N(M(x) л Q(x, y) з з M(y))) зV x єN M(x)). (9)

Теорема 1 (о единственности единицы). Не мо­жет существовать более одной единицы.

Доказательство. Предположим, что существуют две различные единицы e1 и e2. Образуем множес­тво М с N из единицы e1 и всех не единиц, т.е. всех таких натуральных чисел, для каждого из которых существует предшествующее натуральное число. Так построенное множество М удовлетворяет по­сылке аксиомы индукции, поскольку а) М с N; б) в М содержится единица; в) из предположения, что натуральное число х содержится в Ми предшеству­ет натуральному числу у, вытекает, что уєЖ Сле­довательно, согласно аксиоме индукции, множес­тво М содержит все натуральные числа. Но e2g M. Получили противоречие. Это означает, что в мно­жестве J не может содержаться более одной едини­цы. Теорема доказана.

Формально теорема о единственности единицы записывается следующим образом

V у1, У2 є N (J (у1) л J (У2) з D( у1, У2)). (10)

В развернутом виде ее можно записать услови­ем

V У1,У2 єN((V x єN— Q(x,У1)) л x єN Q(x,У2)) з D(У1,У2)),

называемым свойством единственности единицы. Объединяя аксиому существования единицы со свойством ее единственности, получаем следующее утверждение

B !y єN J(y). (12)

В более развернутом виде оно записывается ус­ловием

B !y єN(V x єN—Q(x,y)), (13)

называемым основным свойством единицы. Единс­твенный элемент множества J обозначаем символом

1.

Переходим к рассмотрению вопроса о незави­симости аксиом натурального ряда. Аксиомы на­зываются независимыми друг от друга, если ни одну из них невозможно вывести из совокупности ос­тальных.Теорема 2 (о независимости аксиом натурального ряда). Каждая из аксиом натурального ряда логичес­ки не зависит от совокупности остальных.

Доказательство ведем методом интерпретаций. Его существо состоит в следующем. Для каждой (i-той) аксиомы изобретают такие предикаты, ко­торые, будучи подставлены вместо предикатных переменных во все аксиомы, кроме i-той, обраща­ют их в истину (т.е. превращают логические урав­нения, представленные этими аксиомами, в тож­дества вида 1 =1). Подстановка тех же предикатов в i-тую аксиому обращает ее в ложь (в противоречие вида 0=1). Если бы i-тая аксиома следовала из ос­тальных, то она выполнялась бы вместе с ними. В противном случае эта аксиома независима от ос­тальных.

Доказываем независимость аксиомы (1). При­нимаем N = {1, 2}, Q (x, y) = x1y2. Аксиома (1) не выполняется:

V x є N By є N Q(x,y) = V x є {1,2}By є {1,2}(x1 y2) = = V x є {1,2}(x112 v x122) = V x є {1,2}(x1) = 1121 = 0. Аксиома (2) выполняется:

V x, У1, У2 є N(Q(x, У1) л Q(x, У2) з D(У1, У2)) = = V x,У1,У2 є {1,2}(x1 У12 лx1 У22 з y1 y2 v у2У22 =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа