Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 86

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

= V x,У1 є{1,2}(x1 У1212 зy1)(x1 У1222 зy2 = = V x,У1 є{1,2}(x1 у2 з у2) = V x,У1 є{1,2}(1) = 1.

Аналогично доказывается выполнение аксиом (3)—(5). Итак, аксиома (1) не зависит от совокуп­ности остальных аксиом натурального ряда. Тем же методом доказывается независимость аксиом (2)—(5). Для доказательства независимости ак­сиомы (2) полагаем: N = {1, 2, 2', 3, 3', 4, 4',...}, Q(x, y) = x1y2vx1y2'vx2y3 v x2'y3'vx3y4vx3'y4'v...; акси­омы (3) — N = {1, 2, 3}, Q(x, y) = x1y2vx2y3vx3y2; ак­сиомы (4) — N = {2, 3}, Q(x, y) = x2y3vx3y2; аксиомы (5) — N = {1, 2, 2', 3, 4,...}, Q(x, y) = x1y2vx2'y2'vx2y3v x3y4v... . Теорема доказана.

Переходим к рассмотрению вопроса об изо-морфности натуральных рядов. Любые множество N и определенное на нем какое-нибудь бинарное отношение Q, которые удовлетворяют аксиомам (1)—(5), называются натуральным рядом чисел (N, Q). Множество N называется множеством нату­ральных чисел. Отношение Q называется отноше­нием счета. Функция q(x) = y (q:N—N), задаваемая условием xQy, называется операцией счета. Сово­купность всех утверждений о свойствах предикатов N и Q, выводимых из аксиом натурального ряда, называется теорией натурального ряда. Предикаты N и Q являются первичными и начальными преди­катами теории натурального ряда. Соответственно этому первичными и начальными понятиями тео­рии натурального ряда будут множество натураль­ных чисел и отношение счета. Теория называется категоричной, если все ее первичные предикаты определяются аксиомами с точностью до изомор­физма.

Теорема 3 (об изоморфности натуральных рядов).

Если множества N, N' и предикаты Q на NN, Q 'на N х N удовлетворяют аксиомам натурального ряда, то существует биекция ф:^-> N', такая что для лю­бых x, yєN

Q( x, y) = Q (ф( x ),ф( y)). (14)

Доказательство. Определим предикат Ф на N<N' следующим образом. Полагаем Ф(1, 1 ) = 1, где 1 и 1' — единицы множеств N и N'. Существование элементов 1 и 1 следует из аксиомы существова­ния единицы, единственность следует, как было установлено выше, из аксиомы индукции. Берем элементы a-^Nи a{єN', такие что Q(1, a1) = Q(1', a{) = 1. Согласно аксиомам всюду определеннос­ти и однозначности, эти элементы определяются единственным образом. Полагаем Ф^, a{) = 1. Берем, далее, элементы a2&N, a2'єN', такие что Q(a1, a2) = Q(a{', a2' ) = 1, и полагаем Ф^2, a2') = 1. Продолжая аналогично, получаем не более, чем счетные, множества M = {1, a1, a2,...}, M' = {1', a^, a2',...}. Из аксиомы индукции следует, что М = N, M'=N. Для всех i = 1, 2,... имеем Ф^, a/) = 1. Для всех остальных пар элементов bєN, Ъє^' (т.е. таких, что не существует i, при котором b = a, Ъ = a-) полагаем Ф(Ъ, Ъ) = 0. Докажем, что для любых значений индексов i, j если i ф j, то a, ф aj, a,' ф a'. В самом деле, если бы это было не так, на­пример, as = ap и s<p, то, согласно аксиоме инъек-тивности, as-1= ap-1, as-2= ap-2,...,ap-s = 1. Но тогда Q(ap-s-1, 1) = 1, что, согласно аксиоме существо­вания единицы, невозможно. Определим отобра­жение ф^) = x' условием Ф(x, x') = 1. В силу до­казанного, отображение ф.-^^АГесть биекция. Из способа определения предиката Ф непосредствен­но следует (14) для всех x, ує N. Теорема доказана.

Равенство (14) означает, что предикаты Q и Q изоморфны. Изоморфность натуральных рядов не нарушится, даже если взять разные универсумы U и U, поскольку всегда можно образовать единый универсум U" = Uи U и, согласно только что до­казанной теореме, предикаты Q и Q' будут изомор­фными. Т.о. имеется по существу (т.е. в абстракт­ном смысле) лишь один натуральный ряд чисел. Построение теории натурального ряда завершается фиксацией конкретных множества N и отношения счета Q. Если же возникает необходимость перей­ти от N и Q к другим N и Q', то это можно сделать при помощи некоторого соответствия ф, взаимно однозначно отображающего часть N универсума U в часть N с U. Важно отметить, что возможно из­менение отношения счета Q при сохранении мно­жества N.

Множество В называется собственным подмно­жеством множества А, если B с A и B ф A (пишутB с A). Множество А называется бесконечным, если существует его собственное подмножество В, равномощное множеству А. В противном слу­чае множество А называется конечным. Множество натуральных чисел бесконечно. Действительно, в множестве N = {1, 2,... } имеется собственное под­множество М = {2, 4,... } всех четных чисел, равно-мощное множеству N. Множества N и М можно связать биекцией 2х = у, отображающей N на М. Любое множество, равномощное множеству на­туральных чисел, называется счетным. (Заметим, что понятие счетного множества можно опреде­лить, не пользуясь аксиомами натурального ряда, как минимальное бесконечное множество, т.е. такое бесконечное множество А, все бесконечные под­множества которого равномощны множеству А.) Определение натурального ряда (N, Q) при задан­ном универсуме U непротиворечиво, если мно­жество U бесконечно. Действительно, в этом слу­чае существует последовательность подмножеств V = А0 з А1 з А2 з..., такая что каждое Ai (i = 1, 2,...) есть собственное подмножество множества Аі-1. Выбирая последовательно по одному элементу a1 є А0\А1, a2єАДА2,..., atє А^ДА^..., получим натураль­ный ряд. В случае конечного универсума система логических уравнений (1)-(5) решений не имеет.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа