Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 87

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

2. Сложение на множестве натуральных чисел

В арифметике натуральных чисел сложение определяют как операцию x + y = z, отображаю­щую NхNв N, которая обладает следующими дву­мя свойствами, называемыми аксиомами сложе­ния: 1) для всех xєN x+1 = q(x); 2) для всех x, yєN x+(y+1) = (x+y)+1. Первая аксиома означает, что операция счета q(x) совпадает с операцией при­бавления единицы к произвольно взятому нату­ральному числу х. Т.о. операция счета поглощается (охватывается) операцией сложения натуральных чисел. Вторая аксиома выражает свойство ассоци­ативности сложения натуральных чисел в том част­ном случае, когда третье слагаемое равно единице. Оказывается, что этих двух свойств достаточно для однозначного определения операции сложения на­туральных чисел при условии, что множество нату­ральных чисел и операция счета уже фиксированы. Множество натуральных чисел, а также операции счета и сложения вводятся косвенными определе­ниями. Вместе с тем, для одноместной операции х + 1 дается прямое определение. Первые два по­нятия вводятся абсолютными определениями, а третье понятие — сложение — относительным опре­делением. Все три понятия относятся к первичным и начальным. Определение сложения коэкстенсив-но: для заданного натурального ряда (N, Q) опера­ция сложения вводится единственным способом.

С помощью определения сложения, можно най­ти сумму любых двух натуральных чисел, которая, как оказывается, не зависит от порядка выполняе­мых действий. Для примера найдем сумму каких-нибудь двух натуральных чисел, пользуясь вышеп­риведенным определением сложения. Отыскиваем сумму чисел 4 и 3: 4+3 = 4+(2+1) = (4+2)+1. Число 3 представляем в виде суммы 2+1 на основании того, что каждому натуральному числу, отлично­му от единицы, предшествует единственное на­туральное число (в данном случае числу 3 пред­шествует число 2). Отыскиваем сумму чисел 4 и 2: 4+2 = 4+(1+1) = (4+1)+1 = 5+1 = 6. Предполагает­ся, что функция счета к моменту определения опе­рации сложения уже задана. Окончательно имеем:

4+3 = (4+2)+1 = 6+1 = 7.

Приведенное определение сложения натураль­ных чисел нуждается в переводе на язык алгебры подстановочных операций. При таком переводе нельзя принять заранее, что сложение есть опе­рация. Это свойство сложения еще предстоит вы­вести из аксиом сложения. Сложение можно рас­сматривать лишь как отображение (быть может, частичное или многозначное), действующее из N<N в N. В соответствии с этим вводим предикат S (x, y, z) на N^N, отвечающий отображению x + y = z. Первую аксиому сложения, называемую аксиомой добавления единицы, формулируем следу­ющим образом:

V x, x' єN (S (x,1, x' )~Q(x, x')). (15)

Смысл этой аксиомы состоит в том, что запись x+1 = x' равносильна записи q(x) = x'. Для форму­лировки второй аксиомы сложения, называемой аксиомой ассоциативности, приходится использо­вать гораздо более сложную логическую конструк­цию:

V x, y, z' є N (By' є N (Q( y, y') л S (x, y' ,z')) ~ (16)
~
Bz єN(S(x,y,z) лQ(z,Z,))).             ( )

Аксиома выражает утверждение о равносиль-
ности соотношений
x + (y + 1) = z' и (х + y)+1 = z'.
Кванторы существования использованы для вы-
ражения композиции отображений
у + 1 = у' и
x + y' = z', а также отображений x + y = z + 1 = z'.
Любой предикат S на            называется предика-

том сложения для натурального ряда (N, Q), если он удовлетворяет так сформулированным аксио­мам сложения.

Выводим свойства сложения натуральных чи­сел.

Теорема 4 (о функциональности предиката сложе­ния). Пусть (N, Q) натуральный ряд. Тогда любой предикат S на Nх Nх N, удовлетворяющий аксио­мам сложения, функционален, т.е. для него выполня­ется условие:

V x,y єN B !zєN S(x,y,z). (18) Доказательство ведем индукцией по у. Пусть для любого xєN Mх = ^N|b^NS(x, y, z)}. Согласноаксиомам всюду определенности и однозначности счета для любого xє Nнайдется единственный zє N, такой что Q(x, z) = 1. По аксиоме (15) для любых x, zє N равенство Q(x, z) = 1 равносильно равенству S(x, 1, z) = 1. Следовательно, равенство S(x, 1, z) = 1 определяет функциональную зависимость z от x. Т.о. 1є Mx. Выберем произвольно ує N и предполо­жим, что ує Mx. Тогда B! zє NS(x, y, z). Пусть z Nта-ково, что Q(z, z) = 1. Тогда B zєN(S(x, y, z^Q(z, і)) и, в силу аксиомы ассоциативности, B УєN(Q(y, У )лS(x, У, z)). Покажем, что любой элемент z^N, для которого S(x, У, z') = 1, совпадает с z. Элемент z ' обладает свойством B У єN(Q(y, У S(x, У, z')), и поэтому, согласно аксиоме ассоциативности, B zєN(S(x, y, z)л лQ(z, z')). Но ує^, т.е. элемент z определен однозначно. В силу аксиомы однознач­ности, из равенств Q(z, z ) = Q(z, z ) = 1 следует, что z" = z. Отсюда вытекает, что y' єMx. Применяя аксиому индукции, получаем Mx = N. Теорема до­казана.

Теорема 5 (о существовании и единственности предиката сложения). Пусть (N, Q) натуральный ряд. Тогда существует, притом единственный, пре­дикат S на Nх Nх N, удовлетворяющий аксиомам сложения.

Доказательство. Существование. Сначала для каждого хє N определим специальным образом двухместный предикат Sx на Фиксируя хє N, обозначим а1 = 1, b1 = q(x) (т.е. Q(x, Ъ1) = 1). Обра­зуем два множества: А = {a1, a2,...}, B = {b1, b2,...}, где аі+1 = q(a,), bi+1 = q(b,), i = 1,2,... . Из аксиомы ин­дукции вытекает, что А = N. Кроме того, для любых значений индексов i, j, если iф j, то ai ф aj (см. дока­зательство теоремы 3 об изоморфности натураль­ных рядов). Положим для всех zєN Sx(ai, z) = D(b,, z), i = 1,2,... . Тогда будем иметь (при i = 1)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа