Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 88

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Sx (1, z) = D(q( x), z) = Q( x, z). (а)

Для любого ує N существует номер i, такой что у = аг, и поэтому

Sx (У, z) = Sx (ai, z) = D(b, z) = D(q(bi ),q(z)) =

= D(bi+1,q(z)) = Sx(ai+1,q(z)) = Sx(q(y),q(z)).   ( )

Положим S(x, y, z) = Sx(y, z) для всех x, y, zє N.
Из свойств (а), (б) предикатов Sx вытекает, что пре-
дикат
S на            удовлетворяет аксиомам сложе-
ния.

Единственность. Доказательство ведем индук­цией по у. Пусть Sи S'предикаты сложения. Если у = 1, то условие

V x, z єN (S (x, y,z)~ S' (x, y,z)) (17)

выполняется, т.к. по аксиоме добавления единицы для любых x, zєN S(x, 1, z) ~ Q(x, z) и S' (x, 1, z) ~ Q(x, z). Предположим теперь, что (17) верно для некоторо­го yєN. Покажем, что тогда Vx, У, z є N(Q (y, У) з з (S(x, У, z) ~ S (x, У, z))). Действительно, если

Q ( y, y ) = 1, то по аксиоме ассоциативности из S(x, y, z) = 1 вытекает, что высказывания S(x, У, z) и Q(z, z) равносильны для любого z є N. Аналогично, из S'(x, y, z) = 1 следует V Zє N(S' (x, y' ,z') ~ Q(z,z)). По теореме о функциональности предиката сложе­ния, значение z определено однозначно значениями x и у, если S(x, у, z)=1. Тогда, в силу аксиом всюду определенности и однозначности, единственным образом определяется и значение z, если Q(z, z) = 1. Причем z не зависит от выбора предиката сложения (S или S'). Итак, для любого х существует единственный z є N, такой что S(x, y , z ) = S (x, у , z') = 1. В силу функциональности предиката сло­жения, отсюда следует S(x, У, Z) ~ S'(x, У, z) для любого z. Осталось применить аксиому индукции. Теорема доказана.

Доказав функциональность, существование и единственность предиката сложения S(x, y, z), мы получаем возможность ввести функцию z = x + y, соответствующую этому предикату, которая назы­вается операцией сложения натуральных чисел. Оп­ределяем ее следующим образом: для любых х, у, ZєN z = x + y в том и только том случае, когда S(x,

y, z) = 1.

Теорема 6 (об ассоциативности сложения). Для

всехx, у, zєN(x + y)+z = х + (y + z).

Доказательство. Пусть для всех x, ує NMx y = N| (x + y)+z = x + (y + z)}. По аксиоме ассоциатив­ности (x + y) + 1 = x + (y + 1), т.е. 1є Mxy Покажем, что для любого zє N из zє Mxy следует MX)I (а). Пусть zє M^, т.е. (x + y) +z = x +(y + z). Тогда, в силу аксиомы ассоциативности, (x + y) + (z + 1) = ((x + y) + z) + 1. Поскольку zє Mxy, то ((x + y) + z) + 1 = (x + (y + z)) + 1. Т.к. 1є Mx,(y+z), то (x + (y +

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа