Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 89

z)) + 1 = x + ((y + z) + 1). По аксиоме ассоциатив­ности (y + z) + 1 = y + (z + 1). Итак, ( x+y) + (z + 1)

= x + (y + (z + 1)), т.е. (^+1)є Mxr Справедливость (а) доказана. Применяя аксиому индукции, полу­чаем, что множество Mx,y совпадает с множеством всех натуральных чисел. Теорема доказана.

Теорема 7 (о коммутативности сложения). Для всехx, yєN x+y = y + x.

Доказательство. Пусть для всех xєN Mx = ^N|x+y = y+x}. Поскольку 1+1=1+1, то Пусть yєM1, т.е. 1+у = у+1. В силу ассоциа­тивности сложения, 1 +(y+1) = (1 +y)+1 . По предпо­ложению 1+у = у+1. Поэтому 1+(y+1) = (y+1)+1. Итак, 1є M1, и для всех ує Nro ує M1 следует у+1є M1. Тогда из аксиомы индукции следует, что множест­во M1 совпадает с N, т.е. что для всех xєNx+1 = 1+x. Покажем теперь, что для любого xє N множество Mx совпадает с N. Действительно, ^Mx по только что доказанному. Предположим далее, что ує^, т.е. x+y = y+x. Тогда x+(y+1) = (x+y)+1 в силу аксиомы ассоциативности; (x+y)+1 = 1+(x+y), т.к. ^Mx+y; 1+(x+y) = 1+(y+x), в силу сделанного предполо­жения; 1+(y+x) = (1+y)+x, поскольку сложение ассоциативно; (1+y)+x = (y+1)+x, т.к. 1єMу. Итак, x+(y+1) = (y+1)+x, и для всех ує N из ує Mx следует y+1 є Mx. Применяя аксиому индукции, приходим к выводу, что Mx совпадает с N. Теорема доказана.

3. Порядок на множестве натуральных чисел

Отношение порядка x < y для любых натураль­ных чисел x и y определяется следующим образом: x < у в том и только том случае, если существует на­туральное число z, такое что x+z = y. Это утверж­дение называется определением порядка. Определе­ние порядка — прямое и однозначное. Отношение порядка определяется не только множеством N, но и предикатом Q, так что на одном и том же мно­жестве натуральных чисел может быть задано мно­го разных отношений порядка. Высказывание x < y будем записывать также и в виде y > x. В первом случае говорят "x меньше у", во втором "у боль­ше x". Для формальной записи аксиомы порядка вводим предикат H(x, y) на соответствующий отношению x < y. Определение порядка теперь за­пишется в виде:

V x,y є N(H(x,y) ~ Bz є N S(x,z,У)). (19)

Предикат H, удовлетворяющий определению порядка, называется предикатом порядка для нату­рального ряда (N, Q). Очевидно, что для каждого натурального ряда (N, Q) существует единствен­ный предикат порядка H.

Теорема 8 (о неповторяемости чисел в натураль­ном ряду). Для любых x, ує N, если x<y, то y ф x.

Доказательство. Установим вначале, что для всех x, zєN x + zф x (а). Доказательство ведем ин­дукцией по x. Рассмотрим множество элементов M = {xєN|vzєNx + z ф x} Поскольку для любого ZєN 1+z = z + 1 ф 1, то 1є M. Пусть xєM. Тогда для любого zєN (x + 1)+ z = x+(1 + z) = x+(z+1) = (x + z)+1 (б). Поскольку xєM, то x+z ф x. Отсюда сле­дует, что (x+ z)+1 ф x+1, или (с учетом равенства (б)) (x+1)+z ф x + 1. Поэтому x+^M. По аксиоме индукции получаем M = N. Утверждение (а) дока­зано. Пусть теперь x < y. Тогда найдется zє N, такое что x+z = y. Согласно (а) x+z ф x, следовательно x ф у. Теорема доказана.

Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа