Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

(11) [1] удовлетворяет, кроме предиката равенства, еще и тождественно истинный предикат 1. Следо­вательно, любая система, образованная из аксиом рефлексивности, симметричности или транзитив­ности, будет неполной. Итак, мы видим, что ни одна полная система, образованная из имеющихся в нашем распоряжении четырех аксиом или мень­шего их числа, не может обойтись без аксиом реф­лексивности и подстановочности. Следовательно, из аксиом исходной системы можно образовать единственную полную несократимую систему ак­сиом, а именно — систему, состоящую из аксиом рефлексивности и подстановочности.

Нам нужно еще рассмотреть вопрос о сущес­твовании предиката Dk, задаваемого аксиомати­чески. Имеет ли система уравнений (9) и (12) [1] хотя бы одно решение относительно предикатной переменной Dk, иначе говоря, является ли она непротиворечивой? Оказывается, что решение для каждого множества Sk существует. В самом деле, возьмем в роли Dk диагональный предикат, опреде­ляемый следующим образом:

D             [0, если x ф y,

[1, если x = y,

Когда x = y , то Dk(x, y) = 1, следовательно, ус­ловие (9) [1] выполняется. Докажем выполнение условия (12) [1]. Пусть x ф y . Тогда Dk(x, y) = 0, откуда следует, что Rk(x)лDk(x, y) зRk(y) = 1. Рассмотрим оставшийся случай, когда x = y . Воз­можны два варианта: либо Rk (x) = Rk (y) = 0, либо Rk (x) = Rk (y) = 1. Оба они приводят к равенству Rk (x) л Dk (x, y) з Rk (y) = 1. Таким образом, условие

(12) [1] тоже выполняется. Итак, система, состоящая из аксиом рефлексивности и подстановочности, непротиворечива. Докажем единственность реше­ния системы уравнений (9) и (12) [1]. Из условия (9) [1] следует, что при x = y Rk (y). Если же x ф y , то, принимая Rk(x) = 1 и Rk(y) = 0 , из (12) [1] вы­водим 1 Dk (x) з 0 = 1. Решая последнее уравнение, получаем Dk (x, y) = 0.

Мы рассмотрели четыре свойства предиката равенства идей и установили, что из них можно составить единственную полную и несократимую систему аксиом, образованную из аксиом рефлек­сивности и подстановочности. Можно ли утверж­дать, что найденная система аксиом — простейшая из всех возможных? Нет, нельзя. Дело в том, что не исключено существование других свойств преди­ката равенства, из которых можно было бы обра­зовать более экономные полные системы. В связи с этим возникает задача отыскания новых свойств предиката равенства и образования из них (быть может, с привлечением уже рассматривавшихся ранее аксиом) полных и несократимых систем ак­сиом. Ниже показывается, что возможности в этом направлении еще не исчерпаны.

Аксиоматическое задание предиката равенства идей можно получить на базе единственного зако­на, родственного закону подстановочности. Сле­дующее утверждение называют законом экстенси­ональности [6, с. 196]: для любого предиката Rk, заданного на множестве Sk, и для любых x, y eSk равенство Dk (x, y) = 1 равносильно высказыванию « Rk(x) эквивалентно Rk (y)». Закон экстенсио­нальности можно записать формально в виде сле­дующего логического уравнения:

VxVy(Dk (x, y )VRk (Rk (x)~ Rk (y))) = 1. (1)

Здесь имеется в виду, что переменные x и y заданы на множестве Sk, а квантор общности рас­пространяется на систему всех предикатов y , за­данных на множестве Sk.

Докажем, что диагональный предикат явля­ется решением уравнения (1). Когда x = y , то Dk (x, y) = 1 и Rk (x) = Rk (y) при любых x, y и Rk . Таким образом, условие (1) выполняется. Когда же x ф y , то x , и всегда найдется такой предикат Rk, для которого Rk (x) ф Rk (y). Следовательно VRk (Rk (x)~ Rk (y)) = 0. Итак, условие (1) снова выполняется. Докажем единственность решения уравнения (1). Если x = y , то VRk (Rk (x)~ Rk (y)) = 1, и из уравнения (1) находим Dk (x, y) = 1. Если же x ф y , то VRk(Rk (x)~ Rk (y)) = 0, и из (1) выводим

Dk(x, y)=0.

Итак, предикат равенства идей можно аксиома­тически определить следующим образом: любой предикат Dk, заданный на Sk х Sk и подчиняю­щийся закону экстенсиональности, есть предикат равенства идей. Выражение (1) позволяет дать пря­мое определение предиката равенства идей Dk : для любых x, y eSkDk (x, y) = VRk (Rk (x)~ Rk (y)). (2)

Действительно, если x, y eSk таковы, что Dk(x, y) = 0, то, решая уравнение (1), находим Rk (x)~ Rk (y) = 0. Если же Dk (x, y) = 1, то из (1) вы­водим Rk (x)~ Rk (y) = 1. Определение предиката Dk с помощью систем аксиом (в частности, — урав­нением (1)) будем называть косвенным.

Остановимся на психологической интерпретации закона экстенсиональности (1). В содержательной формулировке закон экстенсиональности гласит: если какие-нибудь мысли x и y для некоторого испытуемого равны, то любое свойство Rk будет либо одновременно выполняться для этих мыслей, либо одновременно не выполняться относитель­но данного испытуемого, то есть всегда должно иметь место равенство Rk (x) = Rk (y). Рассмотрим пример, иллюстрирующий содержание закона эк­стенсиональности. Берем высказывания x =«Идет дождь, и светит солнце» и y =«Светит солнце, и идет дождь». Смыслы этих высказываний совпа­дают x = y . Предикат Rk (x) задаем условием «Из высказывания x логически следует высказыва­ние «Идет дождь»». Рассматриваем высказывание «Из высказывания «Идет дождь, и светит солнце» логически следует высказывание «Идет дождь»» и «Из высказывания «Светит солнце, и идет дождь» логически следует высказывание «Идет дождь»», которые получаются в результате подстановки x и y в исходное условие. Мы видим, что оба вы­сказывания тавтологичны, следовательно, в обоих случаях условие Rk выполняется. Это означает, что Rk (x ) = Rk (y )=1. Рассматриваем, далее, высказы­вания «Из высказывания «Идет дождь» логически следует высказывание «Идет дождь, и светит сол­нце»» и «Из высказывания «Идет дождь» логичес­ки следует высказывание «Светит солнце, и идет дождь»», которые получаются в результате подста­новки высказываний «Идет дождь, и светит солн­це» и «Светит солнце, и идет дождь» вместо x в ус­ловие «Из высказывания «Идет дождь» логически следует высказывание x ». Мы видим, что в обоих высказываниях из посылки не следует заключение. Следовательно, в обоих случаях исходное условие не выполняется, то есть Rk (x) =0. Итак, в рассмот­ренных примерах закон экстенсиональности соб­людается.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа