Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 90

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теорема 9 (о сравнимости натуральных чисел). Для любых x, ує N либо x = y, либо x< у, либо x > y.

Доказательство. Несовместимость любых двух из трёх утверждений, указанных в фор­мулировке теоремы, непосредственно следу­ет из предыдущей теоремы. Образуем множес­тво Mx = Mx'uMx"uMx"', где Mx' = ^N|x = y}, Mx'= ^N|x<y}, Mx" = {yєN|x>y}. Доказав, что Mx=N, мы тем самым установим, что для любых x, ує N хотя бы одно из соотношений x = у, x< у, x>y имеет место. Если x = 1, то 1є Mx, если же x ф 1, то x>1, поэтому 1 є Mx . Итак, мы получили, что 1є Mx. Предположим теперь, что ує Mx. Отсюда сле­дует, что ує MX или ує MX', или ує MX''. Если ує MX, то x = y, x+1 = y+1, x < y +1, y + ^Mx". Если yєMX", то x < y. Следовательно, существует N, такое что x + z = y, а значит x+(z+1) = y+1, x< y+1, y + 1єMX". Если же yєMX' '', то x > y. Следовательно, сущес­твует N, такое что x = y + z. При z = 1 получаем x = y + 1, т.е. y + 1є MX. При z ф 1 существует z N, такое что z = z '+1, и тогда y + z = y +(1+z') = (y+1)+ +z' = x. Отсюда вытекает, что x > y + 1, а значит, y + 1є MX''. Итак, из ує Mx следует y + 1єMX. В силу аксиомы индукции, Mx = N. Теорема доказана.

Введем отношение < нестрогого порядка, опре­деляемое следующим образом: для всех x, ує Nx < y равносильно x< y или x = y. Отношение < называ­ется еще отношением строгого порядка, чтобы от­личить его от отношения <. Запись x < y читается "x меньше или равно у". Вместо x< y также пишут y > x, последняя запись читается больше или рав­но х". Говорят, что произвольный предикат K(x, y) на AхA обладает свойством сравнимости, если он удовлетворяет условию: Vx, yєA(K(x, y)vK(y, x)). Любой бинарный предикат на AхA, обладающий свойствами рефлексивности, антисимметричнос­ти, транзитивности и сравнимости, называется линейным порядком на А. Линейный порядок вы­страивает все элементы множества, на котором он определен, в линию, упорядочивает их. Множест­во, на котором определен линейный порядок, на­зывается цепью.

Теорема 10 (об упорядоченности множества нату­ральных чисел). Множество натуральных чисел с оп­ределенным на нем отношением нестрогого порядка является цепью.

Доказательство. Поскольку x = x для любого N, то всегда x < x, так что отношение нестрогого порядка рефлексивно. Кроме того, оно антисим­метрично. Действительно, пусть x, yєN таковы, что x < у и у < x. Тогда x< y или x = y, и, вместе с тем, ложно, что y>x. Следовательно, x = y. Доказываем транзитивность отношения <. Пусть x, y,N тако­вы, что x < y и y < z. Тогда существуют X, У, такие что y = x+X и z = y+y'. Поэтому z = (x + X)+ У = x +(X + У), следовательно x< z. Если же x = y и y < z, или x < у и у = z, то x < z,. Наконец, если x = y и y = z, то x = z. Итак, во всех случаях из x < y и y < z, следует x < z. Покажем, наконец, что отношение < обладает свойством сравнимости. В силу теоремы о сравнимости натуральных чисел, для любых x, ує N ує Mx' и MX 'uMx"'. Если ує Mx' uMx'', то x < y, если же ує Mx' uMx' '', то x > y. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа