Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 91
4. Умножение на множестве натуральных чисел
В арифметике натуральных чисел умножение определяют как операцию xy = z, отображающую N<N в N, которая обладает следующими двумя свойствами, называемыми аксиомами умножения: 1) для всех xєN x1 = x; 2) для всех x, yєN x (у + 1) = xy + x. Первая аксиома определяет правило умножения произвольного числа на единицу, вторая выражает свойство дистрибутивности умножения натуральных чисел относительно сложения в том частном случае, когда второе слагаемое равно единице.
Для формальной записи аксиом умножения введем предикат P(x, y, z) на NNN, соответствующий отношению xy = z. Первую аксиому умножения формулируем следующим образом, называя ее аксиомой умножения на единицу:
V x,X є N(P(x, 1,x') ~ D(x,x')). (20)
Смысл этой аксиомы состоит в том, что запись x1 = x равносильна записи x = x . Вторая аксиома, называемая аксиомой дистрибутивности, формулируется следующим образом:
V
x, y, z' єN
((By'
єN
Q( y, y') л
P(x, y',
z.'))~ (21)
~(Bz
єN
P(x, y,z) л
S(z, x, z'))). ( )
Она выражает утверждение
о равносильности
равенств x(y+1)
=
z' и
xy
+ x =
z'. Любой предикат
Pна называется
предикатом
умножения для
натурального ряда (N, Q), если он удовлетворяет так сформулированным аксиомам —умножения.
Теорема 11 (о функциональности предиката умножения). Пусть (N, Q) — натуральный ряд. Тогда любой предикат P на NхNхN, удовлетворяющий аксиомам умножения, функционален, т.е. для него выполняется условие:
V x,y єN B !z єN P(x,y,z). (22)
Доказательство ведем индукцией по y. При y = 1 условие (22) выполняется в силу аксиомы умножения на единицу. Предположим, что (22) выполняется для некоторого yєN, т.е. VxєN B!zєN P(x, y, z). Покажем, что тогда (22) справедливо и для y + 1є N. Пусть P(x, y, z) = 1. По предположению, значение z однозначно определено значениями x и y. В силу функциональности предиката сложения, равенство S(z, x, z ) = 1 однозначно разрешимо относительно z . Но тогда, в силу аксиомы дистрибутивности, и уравнение P(x, y+1, z ) = 1 однозначно разрешимо при фиксированных x, y + 1єЖ Осталось использовать аксиому индукции. Теорема доказана.
Теорема 12 (о существовании и единственности предиката умножения натуральных чисел). Пусть (N, Q) — натуральный ряд чисел. Тогда существует хотя бы один предикат Р на NNN, удовлетворяющий аксиомам умножения (20), (21), и все такие предикаты совпадают друг с другом. Последнее означает: если Р и Р' — предикаты на NNN, удовлетворяющие аксиомам умножения, то
V x,y,z є N(P(x,y,z) ~ P'(x,y,z)). (23)
Доказательство. Существование. Сначала для
каждого х є N строим двухместный предикат Рх на NхN. Обозначим а1 = 1, b1 = х. Образуем два множества А = {а1, а2,...}, В = {b1, b2,...}, где аi+1 = q(ai), bi+1 = bj + x, i=1,2,... . Из аксиомы индукцииследует, что А = N. Кроме того, a, ф aj, если iф j. Положим для любого zєN Px(ai, z) = D(z, b), i = 1,2,... . Тогда при i = 1 будем иметь Рх(1, z) = D(z, x) (а). Для любого уєNсуществует единственный номер i, такой что у = а, и тогда Рх(у, z)=Pх(ai, z)=D(b„ z)=D(b+1, Z+x)=Рx(аi+l, z+x) = Px (q(a), z + x) = Px(q(y), z + x)
(б).
Положим Р(х, у, z) = Px(y, z) для всех x, y, zє N. Из свойств (а), (б) предикатов Рх вытекает, что предикат Р на Nх Nх N удовлетворяет аксиомам умножения. Существование предиката Р доказано.
Единственность. В силу теоремы о функциональности предиката умножения, достаточно показать, что для произвольных x, y, z, z'єN из равенств P(x, y, z) = P(x, y, z") = 1 следует z = z' (а). Доказательство ведем индукцией по y. При y = 1 утверждение (а) справедливо, т.к. по аксиоме (20) из равенств P(x, 1, z) = P'(x, 1, z") = 1 следует z = z'. Пусть (а) имеет место для некоторого yєN. Покажем, что тогда для y' = y+1 верно утверждение V x, z, z"є N(P(x, y', z) л P'(x, y', z") з z = z") (б). Действительно, в силу аксиомы (21) равносильны утверждения P(x, y+1, z") = 1 и z' = z+x, P(x, y +1, z") = 1 и z" = z + x, при условии P (x, y, z) = 1. Отсюда следует справедливость (б).
Осталось применить аксиому индукции для множества M = ^N|Vx, z, z" є N^(x, y, z)л^'(x, y, z^з з z = ^^}. Теорема доказана.
Похожие статьи
Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии
Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие
Автор неизвестен - Беседы на шестоднев
Автор неизвестен - Божественность христа