Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 91

4. Умножение на множестве натуральных чисел

В арифметике натуральных чисел умноже­ние определяют как операцию xy = z, отобража­ющую N<N в N, которая обладает следующими двумя свойствами, называемыми аксиомами ум­ножения: 1) для всех xєN x1 = x; 2) для всех x, yєN x (у + 1) = xy + x. Первая аксиома определяет пра­вило умножения произвольного числа на единицу, вторая выражает свойство дистрибутивности ум­ножения натуральных чисел относительно сложе­ния в том частном случае, когда второе слагаемое равно единице.

Для формальной записи аксиом умножения введем предикат P(x, y, z) на NNN, соответству­ющий отношению xy = z. Первую аксиому умно­жения формулируем следующим образом, называя ее аксиомой умножения на единицу:

V x,X є N(P(x, 1,x') ~ D(x,x')). (20)

Смысл этой аксиомы состоит в том, что запись x1 = x равносильна записи x = x . Вторая аксиома, называемая аксиомой дистрибутивности, форму­лируется следующим образом:

V x, y, z' єN ((By' єN Q( y, y') л P(x, y', z.'))~ (21)
~(Bz єN P(x, y,z) л S(z, x, z'))).          ( )

Она выражает утверждение о равносильности
равенств x(y+1) = z' и xy + x = z'. Любой предикат
Pна             называется предикатом умножения для

натурального ряда (N, Q), если он удовлетворяет так сформулированным аксиомам —умножения.

Теорема 11 (о функциональности предиката ум­ножения). Пусть (N, Q) — натуральный ряд. Тогда любой предикат P на NхNхN, удовлетворяющий ак­сиомам умножения, функционален, т.е. для него вы­полняется условие:

V x,y єN B !z єN P(x,y,z). (22)

Доказательство ведем индукцией по y. При y = 1 условие (22) выполняется в силу аксиомы умноже­ния на единицу. Предположим, что (22) выполня­ется для некоторого yєN, т.е. VxєN B!zєN P(x, y, z). Покажем, что тогда (22) справедливо и для y + 1є N. Пусть P(x, y, z) = 1. По предположению, значение z однозначно определено значениями x и y. В силу функциональности предиката сложения, равенство S(z, x, z ) = 1 однозначно разрешимо относительно z . Но тогда, в силу аксиомы дистрибутивности, и уравнение P(x, y+1, z ) = 1 однозначно разрешимо при фиксированных x, y + 1єЖ Осталось исполь­зовать аксиому индукции. Теорема доказана.

Теорема 12 (о существовании и единственности предиката умножения натуральных чисел). Пусть (N, Q) — натуральный ряд чисел. Тогда существует хотя бы один предикат Р на NNN, удовлетворя­ющий аксиомам умножения (20), (21), и все такие предикаты совпадают друг с другом. Последнее озна­чает: если Р и Р' — предикаты на NNN, удовлет­воряющие аксиомам умножения, то

V x,y,z є N(P(x,y,z) ~ P'(x,y,z)). (23)

Доказательство. Существование. Сначала для

каждого х є N строим двухместный предикат Рх на NхN. Обозначим а1 = 1, b1 = х. Образуем два мно­жества А = {а1, а2,...}, В = {b1, b2,...}, где аi+1 = q(ai), bi+1 = bj + x, i=1,2,... . Из аксиомы индукцииследует, что А = N. Кроме того, a, ф aj, если iф j. Положим для любого zєN Px(ai, z) = D(z, b), i = 1,2,... . Тогда при i = 1 будем иметь Рх(1, z) = D(z, x) (а). Для лю­бого уєNсуществует единственный номер i, такой что у = а, и тогда Рх(у, z)=Pх(ai, z)=D(b„ z)=D(b+1, Z+x)=Рx(аi+l, z+x) = Px (q(a), z + x) = Px(q(y), z + x)

(б).

Положим Р(х, у, z) = Px(y, z) для всех x, y, zє N. Из свойств (а), (б) предикатов Рх вытекает, что преди­кат Р на Nх Nх N удовлетворяет аксиомам умно­жения. Существование предиката Р доказано.

Единственность. В силу теоремы о функцио­нальности предиката умножения, достаточно по­казать, что для произвольных x, y, z, z'єN из ра­венств P(x, y, z) = P(x, y, z") = 1 следует z = z' (а). Доказательство ведем индукцией по y. При y = 1 утверждение (а) справедливо, т.к. по аксиоме (20) из равенств P(x, 1, z) = P'(x, 1, z") = 1 следует z = z'. Пусть (а) имеет место для некоторого yєN. По­кажем, что тогда для y' = y+1 верно утверждение V x, z, z"є N(P(x, y', z) л P'(x, y', z") з z = z") (б). Действительно, в силу аксиомы (21) равносильны утверждения P(x, y+1, z") = 1 и z' = z+x, P(x, y +1, z") = 1 и z" = z + x, при условии P (x, y, z) = 1. От­сюда следует справедливость (б).

Осталось применить аксиому индукции для мно­жества M = ^N|Vx, z, z" є N^(x, y, z)л^'(x, y, z^з з z = ^^}. Теорема доказана.

Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа