Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 92

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Доказав функциональность, существование и единственность предиката умножения P(x, y, z), мы получаем возможность ввести функцию z = xy, соответствующую этому предикату, которая назы­вается операцией умножения натуральных чисел. Определяем ее следующим образом: для любых x, У, zєN z = xy в том и только том случае, когда P(x,

y, z) = 1.

Теорема 13 (о дистрибутивности умножения). Для

всех x, y, zєN (x + y)z = xz + yz.

Доказательство. Обозначим для произвольных x, yєN MXy={zєN| (x+y)z = xz+yz}. В силу аксиомы (20) 1є Mxy. Пусть для некоторого zє N имеет место равенство (x + y)z = xz + yz, т.е. zєMXy. Тогда, ис­пользуя аксиому (21), коммутативность и ассоциа-тивностьсложения,получаем:(x+y)(z+1) = (x+y) z+ (x+y) = (xz+yz)+(x+y) = xz+(yz+(x+y)) = xz+((x+y)

+yz) = xz+(x+(y+yz)) = (xz + x) + (yz + y) = x(z + 1) +y (z + 1). Отсюда следует z + 1є Mxy. Применяя аксиому индукции, получаем Mx,y = N. Теорема доказана.

Теорема 14 (о коммутативности умножения). Для

всех x, ує N xy = yx.

Доказательство. Пусть M =        1y = y1}. Т.к.

1-1 = 1-1, то 1єМ Предположим, что некоторыйуєМ Тогда 1(y+1) = 1y+1 = y1+1 = (y+1)1 (соглас­но аксиомам умножения). Поэтому y + 1єМ По аксиоме индукции отсюда следует M = N, т.е. для любого yєN 1y = y1. Для произвольного xєN рас­смотрим множество Mx =є Nxy = yx}. По только что доказанному 1є Mx. Пусть ує Mx. Тогда, с исполь­зованием аксиомы (21) и дистрибутивности умно­жения, получаем x(y+1) = xy+x = yx+x = (y+1)x. Отсюда следует y + 1є Mx. Согласно аксиоме индук­ции, получаем Mx = N. Теорема доказана.

Теорема 15 (об ассоциативности умножения). Для всех x, у, zє N (xy)z = x(yz).

Доказательство. Обозначим для произвольных x, yєN Mxy = ^N|(xy)z = x(yz)}. Очевидно, что, ^Mxy, т.к. (xy)1 = xy = x(y1). Пусть для некоторого zє N (xy)z = x(yz), т.е. zє Mxy. Тогда, в силу аксиомы (21) и теорем 13, 14, (xy) (z + 1) = (xy)z + xy = x(yz + xy) = (yz)x + yx = (yz + y)x = x(yz+y) = x(y(z+1)). Отсюда следует z + 1є My Применяя аксиому ин­дукции, получаем Mxy = N. Теорема доказана.

Выводы

При написании данной статьи авторы базирова­лись на работе Ландау [7], которая, как это явству­ет из ее названия "Основы анализа", нацелена на решение задачи обоснования математики (в части, касающейся введения чисел). Работы подобной направленности часто подвергаются критике, как содержащие circulus vitiosus (порочный круг) [10, с. 115, 6, с.29]. В применении к задаче обоснования теории натурального ряда указывается на невоз­можность формулировки и доказательства утверж­дений этой теории без фактического привлечения натуральных чисел и их свойств. Вместе с тем, ясно, что логически недопустимо основывать вве­дение натуральных чисел на них же самих.

Задача, решаемая в настоящей работе, формули­руется иначе: натуральные числа рассматриваются как нечто уже существующее, изначально данное. Поэтому нет необходимости извлекать их из небы­тия. Требуется лишь математически описать пер­вичные понятия арифметики, которые в ней уже имеются и фактически используются. К такой пос­тановке возражение circulus vitiosus неприменимо, поскольку об обосновании понятия натурального числа речь теперь не идет. Если анализируемые понятия недоброкачественны, то таким же недоб­рокачественным будет и результат их формального описания. Идентифицируя то, что реально сущест­вует в умах математиков и присутствует в их трудах, исследователь не отвечает за безупречность прото­типа. Решая эту задачу, нет необходимости возде­рживаться от использования натуральных чисел и их свойств в качестве одного из средств записи ак­сиом, формулировки необходимых теорем и пос­троения их доказательств. Более того, в качестве инструмента описания арифметических понятий и их анализа не запрещается использовать любые логические и математические средства, которые признаются надежными современной наукой.

Решая задачу формального описания понятий, исследователь не вправе претендовать на абсо­лютную истинность получаемых результатов. Ведь степень их надежности зависит от уровня добро­качественности идентифицируемых понятий, от эффективности аппарата формального описания, вообще — от надежности функционирования че­ловеческого разума, т.е. от факторов, которые ему не вполне подвластны. Доказательством безоши­бочности, абсолютной надежности и эффектив­ности разума человека наука не располагает, и нет оснований надеяться, что оно когда-нибудь будет получено. Приходится довольствоваться верой в доброкачественность человеческого интеллек­та, т.е., в конечном счете, полагаться на высокую квалификацию и добросовестность его создателя (предположительно — генетического интеллекта

[9, с. 151]).

Только что мы охарактеризовали труд Ландау как работу, нацеленную на решение одной из задач обоснования математики. Но на него можно пос­мотреть также и как на работу, вносящую вклад в решение задачи идентификации первичных ариф­метических понятий, хотя, возможно, сам автор такую задачу перед собой и не ставил. Ландау вво­дит четыре первичных понятия: натуральное чис­ло, счет, сложение и умножение натуральных чи­сел; задает их с помощью девяти аксиом и выводит из них основные свойства первичных понятий. Все эти построения послужили базой для нашей рабо­ты.

Отличительной особенностью данной рабо­ты является то, что натуральный ряд (N, Q), пре­дикаты сложения S и умножения P определяют­ся как решения системы логических уравнений, именуемых аксиомами. Существование решения этой системы, как указывалось выше, зависит от выбора универсума U. В соответствии с методи­кой идентификации понятий, описанной в начале этой статьи, нами вводятся переменные предика­ты N(x), Q(x, y), S(x, y, z) и P(x, y, z), отвечающие понятиям натурального числа, счета, сложения и умножения натуральных чисел. Чтобы обеспечить корректность введения предикатов, каждый из них должен быть снабжен областью определения для набора своих переменных [11, с. 62, 69]. Зна­чения аргументов предикатов N и Q должны быть ограничены каким-то универсумом U. Лучше все­го было бы взять в качестве универсума множество всевозможных элементов, однако такое множество не существует. Пришлось принять в роли ипроиз-вольно выбираемое фиксированное множество. В качестве области изменения аргументов преди­катов S и P принимается множество N, которое к
моменту появления сложения и умножения уже оказывается введенным.

Полученные нами выражения (1)-(5), (15), (16), (20) и (21) представляют собой перевод на формальный язык аксиом натурального ряда, со­держание которых пришлось несколько услож­нить по сравнению с формулировками Пеано и Грассмана. Изменение содержания аксиом Пеано вызвано введением универсума U. Формулировка аксиом Грассмана была усложнена из-за того, что в них предикаты S(x, y, z) и P(x, y, z) содержательно представлены равенствами x+y = z и xy = z, кото­рыми нельзя пользоваться, пока не доказано, что сложение и умножение — это операции. Но преди­каты S и P изначально не обладают свойством фун­кциональности, они выражают собой не операции, а всего лишь отношения, связывающие перемен­ные x, y, z. Именно аксиомы, характеризующие эти предикаты, должны превратить их в функции. Только после того, как из аксиом выведены фун­кциональность, существование и единственность предикатов S и P, можно на законных основаниях использовать выражения x+y = z и xy = z. При за­писи аксиом сложения и умножения универсум U не привлекается, поскольку предикат N(x) к этому моменту уже определен и зафиксирован, а значит множество N имеется в наличии и может теперь само выступать в роли универсума.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа