Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 94

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Лемма 1. Для любых x, y, zєN условия x = y, x + z = У + z и xz = yz равносильны. Также равносиль­ны условия x < y, x + z< y + z и xz < yz.

Доказательство. Для любых x, y, zє N выполнено в точности одно из условий x = y (а), x < y (б), y < x (в). В случае (а) для любого zє N имеем x + z = y + z и xz = yz. Если верно (б), то существует Xє N, такой что x + X = у и для любого zє N (x + X) + z = y + z, (x + z) + X = y + z, x + z < y + z, а также (x + X) z = yz, xz + x z = yz, xz < yz. Аналогично, в случае (в) для любого zє N y+z < x+z и yz < xz. Поскольку перечис­ленные случаи взаимно исключают друг друга и в совокупности исчерпывают все возможности, до­казательство леммы завершено.

Лемма 2. Любое непустое множество натураль­ных чисел содержит минимальный элемент.

Доказательство. Пусть М — непустое подмно­жество множества N. Рассмотрим множество М1= ={хєN\VуєN(у<х зМ(у))}. Предположим, что в М нет минимального элемента. Тогда 1 є М1 в силу условия М(1) (иначе 1 — минимальный элемент в М). Пусть теперь zє М1. Тогда и (^1М1, так как иначе (z+1) будет минимальным элементом в М. Применяя аксиому индукции, получаем, что М1 совпадает с N, что невозможно в силу предположе­ния о непустоте множества М. Значит, в М имеется минимальный элемент. Лемма доказана.

Теорема 1 (о существовании множества положи­тельных рациональных чисел и их формирователя). Пусть (N, Q) натуральный ряд. Тогда существу­ют множество А и предикат R на NхNхA, удовлет­воряющие аксиомам положительных рациональных чисел.

Доказательство. Определим на множестве М=NхNпредикат Еусловием: V^, у1), (х2, у2М (Е((хь у1), 2, у2))~х1у2 = х2у1).

Этот предикат, очевидно, обладает свойствами рефлексивностиисимметричности. Покажем, чтоЕ транзитивен. Пусть Е ((х1, у1), (х2, у2)) = Е((х2, у2), (х3, у3)) = 1 для некоторых х1, у1, х2, у2, х3, у3 єN. Тогда х1у2 = х2у1, х2у3 = х3у2 и поэтому (х1у2)(х2у3) = = (х2у1)(х3у2), откуда, в силу свойств коммутатив­ности и ассоциативности умножения натуральных чисел, следует (х1у3)(х2у2) = (х3у1)(х2у2). Из послед­него равенства вытекает, что х1у3 = х3у1 (в силу лем­мы 1). Поэтому предикат Е транзитивен. А значит, Е — эквивалентность, которой соответствует раз­биение множества М на смежные классы, такое что (х1, у1) и (х2, у2) принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда х1у2 = х2у1. Образуем множес­тво А, выбирая из каждого класса по элементу с наименьшим (в данном классе) натуральным чис­лом на второй позиции. Такой выбор возможен в силу леммы 2, и условия, что если (х1, у1), (х2, у2) эквивалентных и x1 ф x2, то у1 ф у2 (в силу аксиомы равенства дробей и леммы 1). Если класс эквива­лентности содержит элемент вида (х, 1), то в качес­тве представителя этого класса выбираем х. Далее, для удобства будем отождествлять элементы (х, 1) є N х N и хєN (используя естественную биекцию ф множеств Nи {(х, 1)|хє7У}, ф» (х, 1)). Предикат R на NхNхА определим условием: Vх, уєN V zA (R (x, у, z) ~ ( Vх', уєNz = (х, уху' = ху)).

Проверяем, что множество А и предикат R удов­летворяют всем аксиомам положительных раци­ональных чисел. 1) Пусть для некоторых x, y, zєN выполнено условие yz = x. Тогда для любого zє N, z = , у) условие R (x, y, z) влечет ху = ху. Ис­пользуя лемму 1 и свойства коммутативности и ассоциативности умножения натуральных чисел, получаем (уz)У = ху, О^у = ху, у z = х, = х 1, то есть Е((х, у), (z, 1)) = 1. В силу выбора множес­тва А, последнее условие означает, что , у) = (z, 1), или z = z. 2) Для любых х, ує N существует, при­том единственный, элемент z є A, такой что Е ((х, у), z) = 1. Пусть z = , у), тогда ху = ху и по оп­ределению предиката R получаем R(x, y, z ) = 1. 3) Пусть z є A и z = (х, у). Тогда, в силу очевидного равенства ху = ху, имеем R(x, y, z) = 1. 4) Для любых х, х, у, уєNусловие ху = ху означает, что Е((х, у), (х, у)) = 1. Поэтому существует zє A, такой что R(x, y, z) = R(x , y , z) = 1. Проверка выполнения аксиом положительных рациональных чисел для множества А и предиката R завершена. Теорема до­казана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа