Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 95

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теорема 2 (о включении натуральных чисел в по­ложительные рациональные). Все натуральные числа являются также и положительными рациональными числами.

Теорема означает, что множество положитель­ных рациональных чисел является расширением множества натуральных чисел, то есть что N с A.

Доказательство. Из аксиомы (2) следует, что для любого zєN cуществует zє A, такое что R(z, 1, z) = = 1. Тогда положив x = z, y = 1, из аксиомы (1) вы­водим z = z. Итак, если zєN, то zєA. Теорема до­казана.

Теорема 3 (об изоморфности множеств положи­тельных рациональных чисел). Пусть (N, Q) — на­туральный ряд, а множества A, A и предикаты R, R на NхNхA и NхNхA' удовлетворяют аксиомам поло­жительных рациональных чисел. Тогда существует биекция ф:A—>A', такая что для любых x, ує N и zєA R(x, y, z) = R(x, y, фф).

Смысл теоремы состоит в том, что положитель­ные рациональные числа определяются аксиомами (1)^(4) в абстрактном смысле однозначно (то есть с точностью до обозначений).

Доказательство. Рассмотрим отношение Ф на AхA', определяемое следующим образом: для всех ZєA и z є А'

<D(z, Z') = Bx, y є N(R(x, y, z) л R'(x, y, z')).

Покажем, что отношение Ф определяет биек-цию ф^) = Z, отображающую A на A. Выберем произвольно zєA. По аксиоме (3) существуют x, yєN, такие что R (x, y, z) = 1. Из аксиомы (2) сле­дует существование единственного Z єA', для ко­торого R (x, y, Z) = 1. По определению отношения Ф имеем Ф(^ Z) = 1. Покажем, что значением z элемент z определяется однозначно. Предполо­жим, что существует элемент Z A, такой что Ф(^ Z') = 1 и Z'Фг'. Тогда, по определению отношения Ф, существуют X, УєN, такие что R (X, У, z) = =R (X, У, Z') = 1. По аксиоме (4) из R (x, y, z) = R (X, У, z) = 1 следует xy = Xy. Но тогда по той же акси­оме (4) существует Z'^A', такое что R (X, У, Z'') =

=R (x, y, z ) = 1.

Итак, R (x, у, Z )=R (x, y, z" ')=R' (X, y', z" ')= =R (X, У, Z ')= 1. Тогда, в силу аксиомы (2), Z = Z" и Z" = Z', а значит Z' = Z, что противоречит пред­положению. Единственность элемента z доказана. Итак, для любого zєA существует единственный Zє A', такой что Ф(^ Z) = 1. Аналогично доказыва­ется для любого Zє A'существование единственно­го zєA, такого что Ф(^ Z) = 1. Это означает, что Ф определяет биекцию ф:A—A'. Теорема доказана.

Переходим к аксиоматическому определению сложения и умножения положительных рацио­нальных чисел. Запись x/y пары чисел x, y, опре­деляющей положительное рациональное число r (x, y), называется дробью. Рациональные положи­тельные числа выражаются соответствующими им дробями. Дробей "больше", чем положительных рациональных чисел. Одно и то же положительное рациональное число можно представить разными дробями. Как узнать, какие дроби выражают оди­наковые числа, а какие — разные? Ответ на этот вопрос дает правило отождествления дробей, осно­ванное на аксиоме равенства дробей: равенство x1/ y1 = x2/y2 равносильно равенству x1y2 = x2y1. Этим условием определяется отношение эквивалент­ности, разбивающее множество всех дробей на смежные классы. В каждом классе содержатся все дроби, обозначающие одно и то же положительное рациональное число. Эти классы можно принять в роли соответствующих положительных рацио­нальных чисел.

Операции сложения и умножения положитель­ных рациональных чисел определяются следующими правилами: если x1/y1 = z1 и x2/y2 = z2, то

Z1 + Z2 = (X У2 + X2 У1)/У1У2, (5) Z1Z2 = X1X2/ y1 y2 (6)

для любых x1, x2, y1, y2єN; z1, Z2єA. Важно под­черкнуть, что равенствами (5) и (6) определяются суммы и произведения не самих положительных рациональных чисел, а дробей, соответствующих этим числам. Поэтому необходимо убедится в кор­ректности таких определений.

Определим на АхАхА предикат сложения S и предикат умножения Р положительных рацио­нальных чисел условиями:

V     Z1,Z2,ZєA(S(z1,Z2,Z)~(V x1,y1,x2,y2 єN, R(X1,y1,Z1)лR(X2,y2,Z2)зR(X1 У2 + X2У1,X1 y2,z)));(1 )

V  Ц, Z2, Z є A(P(Z1, Z2, Z)~(V X1, У1, X2, У2 є N, (2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа