Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 96

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

R(X1, y1,Z1) л R( X2, y2,Z2) з R(X1 X2, У1 y2,Z))).

Чтобы обосновать корректность введения опе­раций сложения и умножения, нужно доказать, что предикты S и P обладают свойством функциональ­ности.

Теорема 4 (о функциональности предикатов сло­жения и умножения положительных рациональных чисел). Предикаты S и P на АхАхА функциональны, то есть удовлетворяют условиям:

Vz^Z^ A B !z є A S(z1,Z2,z); (3')Vz1,Z2^ A B !z є A P(z1,Z2,z). (4') Доказательство. Выберем произвольно z1, Z-^A и пусть для некоторых x1, y1, x2, у2є NR (x1, y1, z1) = = R(x2, y2, z2) = 1 (а). По аксиоме функциональнос­ти (2) B !zє A R (x1y2+x2y1, y1y2, z) (б). Покажем, что Z не зависит от выбора x1, y1, x2, y2, а зависит толь­ко от z1, Z2. Пусть для некоторых x^, у{, x2', y2' єN R (x1 , y1 , z1) = R(x2 , y2 , z2) = 1 (в). Тогда из акси­омы равенства дробей (4) и (а) следует x1y1 = x1 y1,

то есть (X1У2 + 1) У1' У2 = (X1У1' У2 + 1У1') У2= = (X1'y1y2 + X2y1'y^y2 = (x{y2 + X2yi')yyj.

Используя снова аксиому (4), получаем R (x/y2+ + X2y1', У12, z) = R (xy + X2y1, У1У2, z) = 1. Аналог ично доказываем, что R (x{y{ +x{y{, y{y{, z) = 1. С учетом (а), (б), (в), последнее равенство означа­ет, что элемент zє A определяется из условия (б) од­нозначно по заданным z1, Z^A и что S(z1, Z2, z) = 1. Аналогично доказывается функциональность пре­диката умножения Р. Теорема доказана.

Теорема 5 (об ассоциативности сложения поло­жительных рациональных чисел). Для всех z1, Z2, Z3^A (Z1+Z2)+Z3 = Z1+(Z2+Z3) (a).

Доказательство. Для любых z1, Z2, Z3є A и х1, х2, х3, у1, у2, у3є N из условий R (x1, y1, z1) л R (x2, y2, z2) л л R (x3, y3, z3)    и    определения    (1 ) следует

R Xy2+X2y\, У1У2, Z1+Z2) л R (X2y3+X3y2, У2У3, Z2+Z3) л лR ((Xy,+X2y1)y3 31У2), 1У23, (Z1+Z2)+Z3) л л R (Xl2Уз)+(X2Уз+XзУ2l, У1СУ2У3), Z1+(Z2+Z3)). В

силу ассоциативности сложения, а также ассоци­ативности, коммутативности и дистрибутивности умножения натуральных чисел, имеем (x1y2+ x2y1)

У 3 + х 3( y 1У 2) = ( X 1( у 2У 3) + (      3) У1) + ( X 3У 2) У1 =

= X1(y2y3)+(x2y3+X3y2)y1, 1У2312У3). Используя теперь аксиому функциональности (2), непосредс­твенно получаем условие (а). Теорема доказана.

Теорема 6 (о коммутативности сложения поло­жительных рациональных чисел). Для всех z1, Z-^A

z1+z2 = z2+z1.

Доказательство. Для любых z1, Z2єA и х1, х2, у1, у2єNиз условия R (x1, y1, z1) л R (x2, y2, z2), в силу определения (1'), получаем R (xy + x2y1, y1y2, Z1 + Z2) л R(x2y1 + x1y2, y2y1, z2 + Z1). В силу комму­тативности сложения и умножения натуральных чисел, x1y2 + + x2y1 = x2y1 + x1y2, y1y2 = y2y1, откуда (по аксиоме функциональности (2)), сразу получа­ем z1+z2 = Z2+Z1. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа