Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 97

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Теорема 7 (об ассоциативности умножения поло­жительных рациональных чисел). Для всех z1, Z2, Z^A

(z1z2)z3 = z1(z2z3).

Доказательство. Для всех z1, Z2, Z3є A и х1, х2, х3,

у1, у2, У3єNиз условий R (x1, y1, Z1R (x2, y2, z2)л лR (x3, y3, z3) и определения (2' ) следует R (x1x2, y1y2,

Z1Z2) л R (X2Xз2Уз,Z2Zз) л R ((XlX2)Xз,(УlУ2з,(ZlZ2)zз

л R (х1(х2х3), y1(y2y3), z1 (z2Z3)). В силу ассоциа­тивности умножения натуральных чисел, име­ем (x1x2)x3 = x1(х2х3), (y1y2)y3 = У1(у2У3). Исполь­зуя аксиому функциональности (2), получаем (z1z2)z3 = z1(z2z3). Теорема доказана.

Теорема 8 (о коммутативности умножения поло­жительных рациональных чисел). Для всех z1, Z^A

z1 z2 = z2z1.

Доказательство. Для любых z1, Z2є A и х1, х2, у1, у2 єN из условия R(x1, y1, z1R(x2, y2, z2) и определе­ния (2') следует R(x1x2, y1y2, z1Z2R(x2х1, y2y1, z2Z1). В силу коммутативности умножения натуральных чисел, имеем xx2 = х2х1, y1y2 = y2y1. Отсюда следует (по аксиоме функциональности (2)), что z1Z2 = Z2Z1. Теорема доказана.

Теорема 9 (о дистрибутивности умножения поло­жительных рациональных чисел относительно сло­жения). Для всех z1, Z2, Z3єA (z1+Z2)z3 = Z1Z3+Z2Z3 (a).

Доказательство. Для любых z1, Z2, Z3єA и х1, х2, х3, у1, у2, у3є N из условий R(x1, y1, z1) л R(x2, y2, z2)л лR(x3, y3, z3) и определений (1' ), (2') следует R(x1y2+

X2yl, УlУ2,Zl+Z2R((XlУ2+X2Уl)Xз,(УlУ2з,(Zl+Z2)Zз))л л R((XlX3)(y2y3) + (X2X3)(yly3), 1Уз)(у2Уз), Z1Z3 + Z2Z3).

В силу ассоциативности, коммутативности и дис­трибутивности умножения натуральных чисел, имеем (XlXз)(у2Уз) + 2хз)(у1Уз) = ((Xly2 + ху) хзз, (у1У3)(У2У3) = ((у1У2)У3)У3. Применяя аксиому равенс­тва дробей (4), получаем (а). Теорема доказана.

Определим далее отношение порядка на мно­жестве положительных рациональных чисел. От­ношение порядка < на множестве A определяется правилом: для любых z1, Z-^A (z1= x1/y1, z2 = x2/y2, x1, y1, x2, y^N) условие z1<Z2 равносильно условию x1y2 < х2у1. Формально вводим предикат порядка H (x, у) на АхА, соответствующий отношению x < у, следующим прямым определением:

V Zl,Z2 є A(H(Z1,Z2)~(V X1,у-,X2,У2 є N,

R(X-,У-,Zi)лR(X2,У2,Z2)зX-У2 <X2у-)).

Теорема 10 (о сравнимости положительных раци­ональных чисел). Для любых z1, Z2& A выполнено ровно одно из условий z1 = Z2, H(z1, Z2) = 1, H(z2, Z1) = 1.

Доказательство. Выберем произвольно z1, Z2єА. Тогда существуют x1, у1, x2, y2єN, такие что R(x1, у1, z{) =R(x2, у2, z2) = 1. По теореме о сравнимости нату­ральных чисел либо x1y2 = x2y1, либо x1y2< x2y1, либо x2y1<x1y2. Рассмотрим, например, случай x1y2< x2y1 (а). Покажем, что тогда H(z1, z2) = 1. Пусть x{, у{, x2', У2'є N, такие что R (x{, у{, Z1) = R (x2', y2', z2) = 1. Тогда x1y1 = x1 y1 (б) и x2y2 = x2 y2 (по аксиоме ра­венства дробей). Из леммы 1 и условия (а) получаем (x1y2)(x1'y1') < (x2y1)(x1'y1'). Пользуясь свойствами коммутативности и ассоциативности умножения натуральных чисел, будем иметь (x1 y2)(x1y1 ) < <(x2y1 )(x1 y1). Учитывая (б) и снова используя лем­му 1, получаем x1 y2 < x2y1 . Продолжая аналогично, приходим к условию x1 y2 < x2 y1 . Это и означает, что H (z1, z2) = 1. В случае x2y1<x1y2 подобное рас­смотрение приводит к условию H (z2, z1) = 1. Если же имеет место равенство x1y2 = x2y1, то, по аксио­ме равенства дробей (4), BzєА R(x1, у1, zR(х2, у2, z) и тогда, в силу аксиомы функциональности (2), по­лучаем z1 = z2 = z. Теорема доказана.Теорема 11 (о соответствиии операций сложения, умножения и отношения порядка на множествах на­туральных чисел и положительных рациональных чисел). Для любых z1, Z2, ZєN условия Z1+Z2 = Z (а), z1 z2 = z (б), z1< z2 (в) равносильны, соответствен­но, условиям S(z1, Z2, Z) = 1 (а'), Р(z1, Z2, z) = 1 (б' ), Н(z1, Z2) = 1 (в'), где S, Р, Н— предикаты сложения, умножения и порядка на множестве положительных рациональных чисел.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа