Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 100

Тогда, согласно определению отношения Ф, Bx, УєA(T(X, У, z) л T(X, У, Z')). В силу аксиомы (10), из T(x, у, z) = T(X, У, z) = 1 следует x+y = X+у. Тогда, по той же аксиоме, существует Z''єВ', такой что T (x, у, Z'') = T (X, У, Z'0=1. Используя аксио­му (8), получаем Z" = Z' = Z. Поэтому VzєВ В^'єВ' Ф(^, Z). Аналогично, Vz'єB'B!zєB Ф(г, Z). Поэто­му отношение Ф определяет биекцию ф:В—В, при этом T(x, у, z) = T (x, у, ф(z)) для любых x, yєA и zє В. Теорема доказана.

Переходим к определению сложения и умноже­ния рациональных чисел. Пусть задано множество A положительных рациональных чисел и операции сложения и умножения на нем. Пусть, кроме того, множество В и предикат Tm AхAхB удовлетворяют условиям (7)^(10). Предикат S на ВхВхВ называет­ся предикатом сложения рациональных чисел, если для любых z1, Z2, zє В

S (Zi, Z2, Z,)~(V    X2, у-, У2 є A T(xi, y-,Zi) л (6')

лT(X2,y2,Z2,) 3T(Xі + X2,У- + y2,Z)).

При выполнении условия (6 ) будем писать z1+z2 = z. Предикат P на ВхВхВ называется преди­катом умножения рациональных чисел, если для лю­бых z1, Z2, ZєB

P(Zi, Z2,Z,)~(V Xi, X2, У-, У2 є A T(xi, yi,Zi) л (7

лT(X2, У2, Z2,) з T(X і X2 + У- У2, X- У2 + У- X2, Z)).

При выполнении условия (7 ) будем писать

z1z2=z.

Теорема 16 (о функциональности предикатов сло­жения и умножения рациональных чисел). Предика­ты S и Р на ВхВхВ функциональны, то есть удовлет -воряют условиям:

V   z1,Z2 єВ В !zєВ S(Z1,Z2,Z); (8')

V    z1,Z2 єВ В !zєВ P(Z1,Z2,Z). (9')Доказательство. Выберем произвольно z1, Z^B и пусть для некоторых x1, x2, у1, у2є A T (x1, y1, z1) = = T (x2, y2, z2) = 1 (а). По аксиоме функциональ­ности (8) В! zє В T(x1+x2, y1+y2, z) (б). Покажем, что Z не зависит от выбора x1, x2, у1, у2, а зависит толь­ко от z1, z2. Пусть для некоторых x1 , у1 , х2 , y2 є A T(x{, у{, Z\) =T(x{, у2', z2) =1 (в). Тогда из аксиомы равенства разностей (10) и (а) следует x1 + у{ = x{ + Уі, X2 + У2' = =x2 + У2, то есть (х- + Х2) + (у-' + у2') = =(х1 + х2 ) + (у1 + у2) (в силу коммутативности и ассоциативности сложения положительных раци­ональных чисел). Снова используя аксиомы (8) и (10), получаем T (x{+x{, у{ + у2', z) = T (x1 + x2, y1 + y2, z) = 1. С учетом (а), (б), (в), последнее ра­венство означает, что по заданным z1, Z2є В элемент ZєB, удовлетворяющий условию (б), определяется однозначно, независимо от выбора x1, x2, у1, у2, и что S (z1, z2, z) = 1. Функциональность предиката сложения S доказана.

Доказываем функциональность предиката умножения Р. Покажем, что для любых z1, Z^B существует, притом единственный, zєB, такой, что для любых x1, x2, y1, y2 є A T (x1, y1, z1) л T (x2, У2, Z2) зT ((x-x2 + У1У2), (xy + ух), z). Предположим, что T(xi, у-, Zi) л T(x2, У2, Z2) л T(xi, у-', Zi) = 1 (г), T(xx + У1У2, xy + yx, z) = 1 (д), T((Xx+y-y), (x^y2 + y^x2), Z) = 1 (ж). Покажем, что тог­да z = z. Из (г) следует x1+y1 = x1 + y1. Тогда (x-+yi')x2 = (x-'+y-)x2, (xi'+yi)y2 = (x-+y-')y2. Скла­дывая соответственно правые и левые части пос­ледних двух равенств, получаем (x1x2 + у1у2) + (x^ y2 + y1 x2) = (x1y2 + y1x2) + (x1 x2 + y1 y2). Учитывая (д), (ж), будем иметь z = Z (в силу аксиомы (10)). Отсюда следует, что если T(x1, у1, z1) T(x2, у2, z2) л T(x1x2+y1y2, x1y2+y1x2, z) = 1, то z не зависит от выбора пары x1, y^A, а зависит только от z1 (при фиксированных z2, x2, y2). Аналогично z не зависит от выбора пары x2, у2є A, а только от z2. Утвержде­ние, сформулированное в начале доказательства, верно. А из этого утверждения, в свою очередь, следует справедливость теоремы, то есть для лю­бых z1, z2єВ существует единственный zєB, такой что Р^1, z2, z)=1. Этот элемент zєB определяется условием T((xx + у1у2), (x1y2 + ух), z) = 1, где x1, x2, у1, y2єA — любые, удовлетворяющие равенс­тву T(x1, у1, z1) л T(x2, у2, z2) = 1. Теорема доказана.

Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа