Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 100

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Тогда, согласно определению отношения Ф, Bx, УєA(T(X, У, z) л T(X, У, Z')). В силу аксиомы (10), из T(x, у, z) = T(X, У, z) = 1 следует x+y = X+у. Тогда, по той же аксиоме, существует Z'В', такой что T (x, у, Z'') = T (X, У, Z'0=1. Используя аксио­му (8), получаем Z" = Z' = Z. Поэтому VzєВ В^'єВ' Ф(^, Z). Аналогично, VzB'B!zєB Ф(г, Z). Поэто­му отношение Ф определяет биекцию ф:В—В, при этом T(x, у, z) = T (x, у, ф(z)) для любых x, yєA и zє В. Теорема доказана.

Переходим к определению сложения и умноже­ния рациональных чисел. Пусть задано множество A положительных рациональных чисел и операции сложения и умножения на нем. Пусть, кроме того, множество В и предикат Tm AхAхB удовлетворяют условиям (7)^(10). Предикат S на ВхВхВ называет­ся предикатом сложения рациональных чисел, если для любых z1, Z2, zє В

S (Zi, Z2, Z,)~(V    X2, у-, У2 є A T(xi, y-,Zi) л (6')

лT(X2,y2,Z2,) 3T(Xі + X2,У- + y2,Z)).

При выполнении условия (6 ) будем писать z1+z2 = z. Предикат P на ВхВхВ называется преди­катом умножения рациональных чисел, если для лю­бых z1, Z2, ZєB

P(Zi, Z2,Z,)~(V Xi, X2, У-, У2 є A T(xi, yi,Zi) л (7

лT(X2, У2, Z2,) з T(X і X2 + У- У2, X- У2 + У- X2, Z)).

При выполнении условия (7 ) будем писать

z1z2=z.

Теорема 16 (о функциональности предикатов сло­жения и умножения рациональных чисел). Предика­ты S и Р на ВхВхВ функциональны, то есть удовлет -воряют условиям:

V   z1,Z2 єВ В !zєВ S(Z1,Z2,Z); (8')

V    z1,Z2 єВ В !zєВ P(Z1,Z2,Z). (9')Доказательство. Выберем произвольно z1, Z^B и пусть для некоторых x1, x2, у1, у2є A T (x1, y1, z1) = = T (x2, y2, z2) = 1 (а). По аксиоме функциональ­ности (8) В! zє В T(x1+x2, y1+y2, z) (б). Покажем, что Z не зависит от выбора x1, x2, у1, у2, а зависит толь­ко от z1, z2. Пусть для некоторых x1 , у1 , х2 , y2 є A T(x{, у{, Z\) =T(x{, у2', z2) =1 (в). Тогда из аксиомы равенства разностей (10) и (а) следует x1 + у{ = x{ + Уі, X2 + У2' = =x2 + У2, то есть (х- + Х2) + (у-' + у2') = =(х1 + х2 ) + (у1 + у2) (в силу коммутативности и ассоциативности сложения положительных раци­ональных чисел). Снова используя аксиомы (8) и (10), получаем T (x{+x{, у{ + у2', z) = T (x1 + x2, y1 + y2, z) = 1. С учетом (а), (б), (в), последнее ра­венство означает, что по заданным z1, Z2є В элемент ZєB, удовлетворяющий условию (б), определяется однозначно, независимо от выбора x1, x2, у1, у2, и что S (z1, z2, z) = 1. Функциональность предиката сложения S доказана.

Доказываем функциональность предиката умножения Р. Покажем, что для любых z1, Z^B существует, притом единственный, zєB, такой, что для любых x1, x2, y1, y2 є A T (x1, y1, z1) л T (x2, У2, Z2) зT ((x-x2 + У1У2), (xy + ух), z). Предположим, что T(xi, у-, Zi) л T(x2, У2, Z2) л T(xi, у-', Zi) = 1 (г), T(xx + У1У2, xy + yx, z) = 1 (д), T((Xx+y-y), (x^y2 + y^x2), Z) = 1 (ж). Покажем, что тог­да z = z. Из (г) следует x1+y1 = x1 + y1. Тогда (x-+yi')x2 = (x-'+y-)x2, (xi'+yi)y2 = (x-+y-')y2. Скла­дывая соответственно правые и левые части пос­ледних двух равенств, получаем (x1x2 + у1у2) + (x^ y2 + y1 x2) = (x1y2 + y1x2) + (x1 x2 + y1 y2). Учитывая (д), (ж), будем иметь z = Z (в силу аксиомы (10)). Отсюда следует, что если T(x1, у1, z1) T(x2, у2, z2) л T(x1x2+y1y2, x1y2+y1x2, z) = 1, то z не зависит от выбора пары x1, y^A, а зависит только от z1 (при фиксированных z2, x2, y2). Аналогично z не зависит от выбора пары x2, у2є A, а только от z2. Утвержде­ние, сформулированное в начале доказательства, верно. А из этого утверждения, в свою очередь, следует справедливость теоремы, то есть для лю­бых z1, z2єВ существует единственный zєB, такой что Р^1, z2, z)=1. Этот элемент zєB определяется условием T((xx + у1у2), (x1y2 + ух), z) = 1, где x1, x2, у1, y2єA — любые, удовлетворяющие равенс­тву T(x1, у1, z1) л T(x2, у2, z2) = 1. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа