Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 102

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

(7')     следует     Т ((Xi+X2)X3+(y- + У2з, (х-+Х2з +

+ 1+ У 2) х з, (Z і + Z2) Z3) л Т(( x і х з+у і у 3) + (x 2Х з+ 2Уз),(хіУзх) +2У3 + У2Xз), Z1Z3 + Z2Z3). Ис­пользуя коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность умножения и сложения по­ложительных   рациональных  чисел, получаем

1+х2)х3+(у1+у2) у3 = 1х3 + у1у3) + 2х3 + у2у3), (х1+х2)у3+ (у1+у2) х3 = 1у3+у1х3) + 2у3+у2х3).

Применяя аксиому функциональности (8), выво­дим отсюда условие (а). Теорема доказана.

Определяем порядок на множестве рациональ­ных чисел. Пусть задано множество A положитель­ных рациональных чисел, а множество В и преди­кат Tна A х A х В удовлетворяют аксиомам (7)^(10).Предикат порядка Н (х, у) на ВхВ, соответствую­щий отношению порядка х < у, вводим прямым оп­ределением:

V z1,Z2 є BHXznZ2)~(V x1,x2,y1,y2 є A T(x1,y1,z)л

л^2, У2, Z2) з X - + У2 < X2 + У-)). (11)

Для доказательства корректности этого опреде­ления понадобится следующая

Теорема 22 (о сравнимости рациональных чисел).

Для любых z1, Z2є В выполнено в точности одно из ус­ловий z1 = Z2, H(z1, Z2) = 1, H(z2, Z1) = 1.

Доказательство. Выберем произвольно z1, Z^B. Тогда существуют x1, x2, y1, y2єA, такие что T (x1, y1, z1) = T (x2, y2, z2) = 1. По теореме о срав­нимости положительных рациональных чисел либо x1+y2 = x2+y1 (а), либо x1+y2 < x2+y1 (б), либо x2+y 1 < x1+у2 (в). Пусть, например, выполнено усло -вие (б). Покажем, что тогда Н (z1, z2) = 1 (очевидно, что возможности z1 = Z2 и Н (z2, z1) = 1 исключены). Пусть x1 , x2 , y1 , y2 є A — такие, что T (x1 , y1 , z1) = = T (x2 , y2 , z2) = 1. Тогда по аксиоме равенства разностей (10) x1 + y1 = x1 + y1 (г) и x2+y2 = x2 +y2. Из леммы (3) и условий (б), (г) получаем (x1+y2)+ +(x1'+y1) < (x2+y1)+(x1+y1'). Пользуясь свойствами коммутативности и ассоциативности сложения положительных рациональных чисел, имеем (x1 + + у2) + (x1 + у1) < (x2 + у і) + (x1 + у1).Сноваисполь-зуя лемму 3, получаем x1 +y2 < x2+y1 . Продолжая аналогично, приходим к условию xi + у2' < x2' + у/. Это означает, что Н (z1, z2) = 1. В случае (в) подоб­ное рассмотрение приводит к выводу Н (z2, zi) = 1. Если же выполнено условие (а), то, по аксиоме ра­венства разностей (10), BzєB T (х1, у1, z) = T (х2, у2, z) = 1 и тогда, в силу аксиомы функциональности (8), получаем z1 = z2 = Z. Теорема доказана.

Лемма 5. Для любых х, уєА Т + у, у, х) = 1.

Доказательство. Согласно аксиоме функцио­нальности (8), для произвольных х, уєА сущест­вует zєВ такой, что Т(х+у, у, Z) = 1. Из аксиомы включения (7) и коммутативности сложения по­ложительных рациональных чисел получаем х = z. Лемма доказана.

Теорема 23 (о соответствии операций сложения, умножения и отношения порядка на множествах ра­циональных и положительных рациональных чисел). Для любых z1, Z2, ZєА условия Z1+Z2 = Z (а), Z1Z2 = Z (б), z1< Z2 (в) равносильны, соответственно, услови­ям S(Zi, Z2, Z) = 1 (а'), Р^і, Z2, Z) = 1 (б'), Н^і, Z2)= 1 (в'), где S, Р, Н — предикаты сложения, умноженя и порядка на множестве рациональных чисел.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа