Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 105

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Определяем понятие обратного числа, Чис­лом, обратным числу zєВ zФ 0, называется любой элемент z"1є В, такой что zz1 = 1.

Теорема 29 (об обратном рациональном числе). Для любого zєВ, z Ф 0 существует, притом единс­твенное, обратное число.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай ZєА. По аксиоме (3), существуют х, уєN, такие что R (х, у, z)=1. В силу аксиомы (2) найдется такой ^1єА, что R (у, х, z1)=1. Тогда из условий R (ху, ух, zz1) = R(xy, ху, zZ]) = 1, (ху)1 = ху и аксиомы вклю­чения (1) будем иметь zz1= 1. Предположим, су­ществует такой    А, что zz2 = 1. Тогда из равенства

zz1 = zz2 получаем z1(zz1) = z1(zz2-1), (z1z)z1 = (z1z)z2,

1 z1 = 1 z2, z1 = z2. Поэтому z1 = z-1 и это обратноечисло определено для каждого zєА единственным образом. Пусть теперь zєВ и z < 0. Тогда, по лемме 8, (^єА и поэтому существует (-z)^ А, такой что (-z)(-z)-1=1. Используя коммутативность и ассоци­ативность умножения и лемму 7, получаем ((-1)z) (-z)-1 = 1, z((-1)(-z)-1) = 1, (-(-z)-1)z=1, z(-(-z)-1)=1, то есть число -(-z)-1 является обратным числу z. Доказательство единственности обратного числа для отрицательных рациональных чисел проводит­ся точно так же, как для положительных. Теорема доказана.

Лемма 9. Для любых х1, у1, х2, у2єА условие (х2<х1) л л 2і) (а) влечет ху < х-у-.

Доказательство. Пусть для некоторых х1, у1, х2, у2єА верно (а). Тогда, по лемме 3, сущест­вуют u, vє А, такие что х1 = х2 + u, у1 = у2 + v, и зна­чит х1у1 = х2у2 + ((x2v + ^2) + uv). Снова используя лемму 2, получаем х2у2 < х1у1. Лемма доказана.

Лемма 10. Для любых х1, у1, х2, у2єВ условие

2і) л 2і) (б) влечет Х22 < Хіі.

Доказательство. Пусть для некоторых х1, у1, х2, у2єВ верно (б). Тогда, по лемме 6, сущес­твуют u, v є А, такие что х1 = х2 + u, у1 = у2 + v, то есть х1 + у1 = (х2 + у2) + (u + v). Снова используя лемму 6, получаем х2+у2 < х1+у1. Лемма доказана.

Лемма 11. Для любых х, уєВ условия х < у и < равносильны.

Доказательство. Если х, уєВ и х< у, то невоз­можно = -у. Также неверно < -у, потому что иначе имеем х+(-х) < у+(-у) (по лемме 10), 0<0 — противоречие. Поэтому условие х < у влечет -у < -х, а в силу равенств -(-х) = х, -(-у) = у верно и обратное утверждение. Лемма доказана.

Выводы

Полученные здесь результаты по идентифи­кации понятия числа имеют много общего с из­вестными положениями из учения об основаниях арифметики, поэтому необходимо проанализи­ровать различие между ними. В нашей постанов­ке речь идет только об идентификации (то есть о математическом описании) понятия числа, воп­рос об обосновании этого понятия не ставится. При решении задачи идентификации объектов все средства формального описания хороши, лишь бы они были надежны; нет необходимости их ограни­чивать, как это делается в математической логике при обосновании понятий арифметики. Снятие запрета на средства формального описания дает возможность идентифицировать именно ту ариф­метику, которая фактически используется в мате­матической практике, а не тот ее вариант, который носит название формальной арифметики.

Наиболее близкую к формулируемой здесь пос­тановку задачи мы находим в классической работе Ландау [3], опубликованной впервые в 1930 году. Насколько нам известно, до настоящего времени результаты этой работы не пересматривались и не улучшались. Главный недостаток данной работы, оцениваемой нами с точки зрения задачи иден­тификации (а такая задача в ней не ставится, пос­кольку речь там идет только об обосновании ариф­метики), заключается в том, что в ней все аксиомы арифметики записаны на неформализованном логическом языке, то есть. на том языке, который был общепринятым среди математиков в то время, когда эта работа была написана. При решении за­дачи идентификации этого недостаточно. Для этой цели мы использовали язык алгебры подстановоч­ных операций [1]. Аксиомы (1)-(5), (15), (16), (20) и (21) из первой части настоящей работы, по су­ществу, повторяют формулировки Ландау, разли­чие заключается лишь в языке описания. Аксиомы (1)-(4) из второй части этой работы у Ландау вов­се отсутствуют. Это обусловлено тем, что он вво­дит положительные рациональные числа прямым определением, как классы эквивалентных дробей (пар натуральных чисел). Однако при использо­вании языка алгебры подстановочных операций необходимо вводить предикат R, связывающий пары натуральных чисел с положительными раци­ональными. То же самое относится и к аксиомам (7)-(10), которые определяют множество всех ра­циональных чисел и предикат Т, связывающий их с парами положительных рациональных чисел.

Список литературы: 1. Баталин, А.В. О теории натурального ряда [Текст] / А.В. Баталин, З.В. Дударь, С.А. Пославский, С.Ю. Шабанов-Кушнаренко // АСУ и приборы автоматики. Науч.-техн. журнал — 1998. № 107. — С. 135-144. 2. Бата-лин, А.В. О теории рациональных и вещественных чисел [Текст] / А.В. Баталин, С.А. Пославский, С.Ю. Шабанов-Кушнаренко // АСУ и приборы автоматики. Науч.-техн. журнал — 1998. № 107. — С. 155-164. 3. Ландау, Э. Основы анализа. [Текст] / Э. Ландау— М.: ИЛ, 1947. — 182 с.

поступила в редколлегию 20.04.2010

 

УДК 519.7

Про теорію раціональних чисел / М.Ф. Бондаренко, Н.П. Круглікова, С.О. Пославський, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко // Біоніка інтелекту: наук.-техн. журнал. — 2010. — № 2 (73). — С. 140—149.

Категорія кількості представлена поняттями нату­рального, раціонального та дійсного числа. Мовою ал­гебри предикатних операцій описані характеристичні властивості цих понять, доказана повнота опису. З виз­начень понять, які розглянуті виведені їх основні власти­вості, на яких базується будова математичного аналізу.

Ил. 2. Бібліогр.: 3 найм.

UDC 519.7

On the rational numbers theory / M.F. Bondarenko, N.P. Kruglikova, S.A. Poslavsky, Ju.P. Shabanov-Kushnarenko // Bionics of Intelligence: Sci. Mag. — 2010. — № 2 (73). — С. 140—149.

The category of a quantity represented by concepts natural, rational and real quantities. In language of algebra of predi­cate operations the characteristic properties of these concepts are described, the completeness of the descriptions is proved. From definitions of considered concepts their main properties are introduced, on which the building of a calculus bases.

Fig. 2. Ref.: 3 items.БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2010. № 2(73). С. 150-158
О ТЕОРИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

М.Ф. Бондаренко1, А.Д. Дрюк2, Н.П. Кругликова3, С.А. Пославский4, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко5

1 2 2 5 ХНУРЭ, г. Харьков, Украина 4 ХНУ им. В.Н. Каразина, г. Харьков, УкраинаПредпринимается попытка формального описания категории количества. С этой целью на языке алгебры подстановочных операций дается аксиоматическая характеристика понятий натурального числа, счета, сложения, умножения и порядка на множестве натуральных чисел. Идентифицируются первичные понятия теории положительных и произвольных рациональных чисел. Средствами логичес­кой математики проводится аксиоматическая характеризация понятий теории действительных чисел и арифметических действий над ними. В статье развиваются идеи, сформулированные в работах [1, 2].

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, ПРЕДИКАТ, АЛГЕБРА ПОД­СТАНОВОЧНЫХ ОПЕРАЦИЙСначала остановимся на интуитивном понима­нии действительных чисел. Ранее было сказано, что рациональные числа можно наглядно предста­вить как точки на прямой. Хотя между двумя, даже сколь угодно близкими, точками можно вставить еще одну рациональную точку, тем не менее раци­ональные точки заполняют прямую не полностью. Так например, длина диагонали квадрата со сторо­нами длины 1 не является рациональным числом. Иными словами, уравнение xx = 1+1 в рациональ­ных числах неразрешимо. Всех точек на прямой гораздо больше, чем всех рациональных точек. Чтобы иметь возможность каждой точке прямой поставить в соответствие свое число, приходит­ся множество рациональных чисел расширить до множества действительных. Представить наглядно действительные числа можно в виде так называе­мых сечений.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа