Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 106

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Сечением называется любое множество раци­ональных чисел, обладающее следующими тремя свойствами: 1) в сечении содержатся рациональ­ные числа, но не все; 2) каждое содержащееся в сечении число меньше не содержащегося в нем; 3) в сечении нет наибольшего числа. Сечение мож­но уподобить части прямой, расположенной ле­вее некоторой точки. Интуиция подсказывает, что каждому сечению должно соответствовать вполне определенное число, ограничивающее его сверху. Однако, оказывается, что сечений больше, чем ра­циональных чисел, поэтому не для каждого сече­ния существует его верхняя рациональная граница. Это следует из того, что множество сечений кон­тинуально, а множество всех рациональных чисел лишь счетно, поэтому мощность первого множес­тва больше мощности второго. Действительных же чисел достаточно: между сечениями и их действи­тельными верхними границами существует взаим­но однозначное соответствие.

1. Аксиомы действительных чисел

Мы рассмотрели содержательную сторону воп­роса. Теперь займемся формальным введением действительных чисел. Предполагаем, что множес­тво В всех рациональных чисел уже введено и на нем определены операции сложения и умножения и отношение порядка. Множество всех действи­тельных чисел обозначим символом С. Вводим пре­дикат L(x, у) на В хС, называемый формирователем действительных чисел. Предикат L требуется опре­делить аксиомами действительных чисел так, что­бы для каждого действительного числа y множество всех корней уравнения L(x, у) = 1 относительно пе­ременной x было некоторым сечением а. Сечение а должно обладать свойством: если L(x, у) = 1, то xє а, если же L(x, у) = 0, то x g а. Иными словами, преди­кат L(x, y) взаимно однозначно связывает действи­тельное число y с соответствующим ему сечением. Если существует рациональная граница а сечения а, то в роли действительного числа y принимается рациональное число а, то есть у = а. Такое дейс­твительное число называется рациональным. Если для сечения а рациональная граница не существу­ет, то соответствующее ему действительное число у называется иррациональным. После пополнения множества всех рациональных чисел иррациональ­ными ось рациональных чисел превращается в ось действительных чисел. В результате у каждого се­чения появляется единственная верхняя граница -рациональная или иррациональная. Каждому дейс­твительному числу соответствует единственное се­чение, для которого это число является верхней границей. В силу наличия взаимно однозначного соответствия между всеми действительными чис­лами и сечениями, действительные числа можно считать просто именами сечений.

Переходим к формулировке аксиом действи­тельных чисел. Всего имеется семь аксиом дейс­твительных чисел, они связывают множество С и предикат L:аксиома непустоты сечения

V          у є С Bx є В L(x,у); (1) аксиома неполноты сечения

V          у є С Bx є В-L(x,у); (2) аксиома упорядоченности сечения

x,у є В Vz є С(L(x,z) л -L(y,z) з x < у); (3) аксиома плотности сечения

V z є С V x єВЩx,z) з By єВЩy,z) л x < у)); (4) аксиома включения рациональных чисел

V z є С V x єВС^ у єВ(—L(x, z) л л—L(у,z) з x < у)) з x = z); аксиома единственности

V у,z є С((V x є B(L(x, у) ~ L(x,z))) з у = z); (6) аксиома существования

V M с В((В x є В M (x) лВ x є В M (x)) л лV x єВ V у єВСМ^)л- M(y) зx < у)л

лV xєB(M(x)зВ уєВЩ(у)лx<у))з ( ) зBzєС V x єB(M(x)~ L(x,z))). Аксиома (1) гласит, что любое сечение у не пус­то. Аксиома (2) выражает мысль, что в каждом се­чении у содержится не любое рациональное чис­ло. Вместе взятые, эти два свойства формально выражают первое свойство сечений. Аксиома (3) выражает второе свойство сечений: любое рацио­нальное число из сечения z меньше любого рацио­нального числа вне этого сечения. Третье свойство сечений формулируется аксиомой (4): для любого рационального числа из сечения z найдется еще большее. Аксиома (5) гласит: если x - рациональ­ная граница сечения z, то z = x. Смысл аксиомы (6) состоит в том, что каждому сечению соответствует не более одного действительного числа. Если сече­ния совпадают, то совпадают и соответствующие им действительные числа. Аксиома (7) гласит: если множество M рациональных чисел обладает пер­вым, вторым и третьим свойствами сечений, то су­ществует действительное число, соответствующее ему. Иными словами, для каждого сечения най­дется соответствующее ему действительное число. Свойства (1)-(7) называются аксиомами действи­тельных чисел. Теория предикатов С и L, основан­ная на аксиомах (1)-(7), называется теорией дейс­твительных чисел.

Теорема 1 (о независимости аксиом действитель­ных чисел). Каждая из аксиом действительных чи­сел, кроме аксиомы (2), логически не зависит от со­вокупности остальных.

Доказательство. Доказательство ведем мето­дом интерпретаций. Убеждаемся в независимос­ти аксиомы (1). Для этого примем С = R и {а}, где R — множество всех действительных чисел, кото­рое, как мы полагаем, имеется в нашем логическом инструментарии (и которое содержит в качестве подмножества множество В всех рациональных чисел), а — произвольный элемент универсума, не принадлежащий R. Определяем предикат L: Vz єС Vx єВ^^, z) і z? л x< z), где < — имеющееся в инструментарии отношение "меньше" на множес­тве R; z!l — предикат узнавания (£■ ~ z = a). Тогда ак­сиома (1) не выполняется, так как Vx є В L(x, а). Аксиома (2) выполняется: для любого числа из R найдется большее рациональное число, то есть Vz є R Bx є В L(x, z), кроме того, условие L(x, а) выполнено для всех x є В. Аксиома (3) выполняет­ся, так как имеем Vz є С Vx, у є В^^, £)л L(x, z) з з R(z^x < z л — O^z)), но x<z, < z) влечет x< у. Аксиома (4) выполняется, так как для любых z є R, x є В, таких что x< z, найдется ує В, для которого x< у< z. Аксиома (5) выполняется: если для некото­рых z є R, x є В при любом у є В условие z < х и z< у влечет х < у, то x = z, так как иначе z< х и Ву x є В Z< у< х; если z = а, тоусловие Vує В(—L(x, z) л —L^, z) з х < у) не выполняется ни при каком xє В, но тог­да   имеем   Vхє В (Vує В( L(x, z) л — L(f, z) з х <

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа