Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 107

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

<у) з x = z). Проверяем выполнение аксиомы (6). Если для некоторых у, zє С имеем Vхє В(— уа л x <

<У і Z? л x< z), то либо у = z = а, либо у єR, z є R и у = z (иначе найдется такой х є В, что zoc^ или уос^). Поэтому Vу, zє СУх є В^^, у) ~ L(x, z)) з з У = z) = Vу, zє С(Vx єВ ( уа л x< у і z? л x< zз у = Z ) = 1, т.е. аксиома выполняется. Аксиома (7) выполняется, так как для любого МсВ, удов­летворяющего посылкам этой аксиомы, найдется такой z єR, что Vx єВ(М(х) ~ x< z), то есть Bz є С Vx є B(M(x) ~ z? л x < z).

Покажем теперь, что аксиома (2) зависима от остальных аксиом. Для этого достаточно убедиться в том, что если условие (2) не выполнено, то нару­шается и какое-то из оставшихся условий. Пред­положим Bz1 є С Vx є В L(x, z1). Тогда из аксиомы (5) получаем Vx єВ((Vу єВ(— L(x, z1) л — L(f, zi) з з х < у)) з x = z1), Vx є В(Vу є В(0 з х < у) з x =z1), VхєВ (1 з x = z1),VхєВ x = z1, что заведомо ложно. Таким образом, аксиома (2) не является независи­мой от остальных.

Независимость других аксиом проверяет-
ся так же, как и независимость аксиомы (1). Для
проверки независимости аксиомы (3) полагаем
С = R и {а} и Vz є С Vx є       z) ~ Z? л N(x) v z? л

л x < z), где N — множество натуральных чисел; ак­сиомы (4) — С=R и{а} и Vz є С Vx є В^^, z) ~ Z? л х <

<0 v z? л x < z); аксиомы (5) — С = (R\{0})u{a} и Vz є С Vx є В^^, z) ~ л x< 0v — л x < z); аксио­мы (6) — С = R и {а} и Vz є С Vx єВ^^, z) ~ Z? л x < <V2 v z? л x < z); аксиомы (7) — С = R\{0} и Vz є С Vx єВ^^, z) ~ x< z). Теорема доказана.

Следующие две леммы относятся к теории ра­циональных чисел [5], но они необходимы для до­казательства нижеследующих утверждений.

Лемма 1. Для любых u, vєВ условие u < v влечет Bw є B(u< w л w < v).

Доказательство. Пусть u, vє В и u < v. Положим w = (u+v)(1+1)-1. Тогда, в силу леммы 10 из второйчасти этой статьи, будем иметь u+u < u+v < v+v, u(1+1) < u+v < v(1+1),u(1+1)(1+1)-1 < (u+v)(1+1)-1< < v(1+1)(1+1)-1, u < w < v. Лемма доказана.

Лемма 2. Для любых х, у є В условия х<у и < равносильны.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа