Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 108

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Доказательство. Пусть х, ує В и х<у. Тогда, по лемме 6 из [5], существует такой zє А, что у = x+z, где А множество положительных рациональных чисел. Используя лемму 7 из части 2, получаем = (-1)(x+z), то есть -у = (-x)+(-z), -F+Z= -х, < -х. Лемма доказана.

Теорема 2 (о включении рациональных чисел в действительные). Все рациональные числа являются также и действительными, и для любого zє В выпол­нено условие L(z, z) л VyєB(L(у, z)~y<z).

Теорема означает, что множество действитель­ных чисел является расширением множества раци­ональных чисел, то есть что ВсС.

Доказательство. Выберем произвольно zє В. Рас­смотрим множество Mz=єВ|у< z}. Покажем, что это множество удовлетворяет всем посылкам акси­омы (7), то есть обладает всеми свойствами, опреде­ляющими понятие сечения. а) Положим x=z+(-1). Тогда x+1 = (z+(-1))+1 = z+((-1)+1) = Z+0 = z, то есть х < z и верно Mz(x). б) Положим x = z+1. Тог­да имеем z < х и Mz(x). в) Пусть для некоторых х, уєВ выполнено условие Mz(x) л — M^). Тогда х< z и z < у, откуда получаем х< у. г) Пусть хє В и Mz(x). Тогда, по лемме 1, Вує В х< у< z, то есть Вує В (MZ(у)лх< у). Итак, все посылки аксиомы (7) вы­полнены. Поэтому существует z С такой, что для любого ує В условия M^) и L(f, z') равносильны. В силу определения множества Mz, получаем L(z, Z') лVyєB(—L(у, Z) з z< у). Используя аксиому (5), выводим отсюда z' = Z, то есть zє С и верно L(z, z). Теорема доказана.

Теорема 3 (об изоморфности множеств действи­тельных чисел). Пусть В — множество рациональ­ных чисел, а множества R, R1 и предикаты L, L1 на BхR и BхR1 соответственно удовлетворяют аксио­мам (1)-(7) действительных чисел. Тогда найдется биекция ср: R—R1, такая что для любых xєB и uєR L(x, u) = L1(x, cp(u)).

Теорема означает, что в нашей власти лишь менять обозначения действительных чисел (и то только тех, которые являются иррациональными, поскольку для рациональных чисел обозначения уже были выбраны заранее). Из теоремы непос­редственно следует, что все множества действи­тельных чисел равномощны. Любое множество, равномощное множеству всех действительных чи­сел, называется континуальным (континуумом).

Доказательство. Выберем произвольно uєR. Пусть M = ^Q|L(x, u)} (то есть M(x) ~ L(x, u)). Множество M удовлетворяет всем посылкам ак­сиомы (7). Поэтому существует u^R1, такой что для любого xє Q M(x) ~ L1(x, u1). Такой элемент u1 — единственный (для множества M) согласно ак­сиоме (6). Таким образом, каждому uєR ставится в соответствие единственный u1 = p^u^R^ Пока­жем, что р — биекция :R- R1). Действительно, повторяя предыдущие рассуждения, получаем, что для любого u R1 найдется, притом единственный, uєR, такой что Vxє Q L1(x, u1) = L(x, u), то есть Vu^R1 B!uєR u1 = cp(u). Поэтому ср - биекция. Те­орема доказана.

2.         Порядок на множестве действительных чисел

Вводим предикат порядка Н«, v) на RхR, соот­ветствующий отношению порядка u< v, следующим прямым определением:

V u,v є R(H (u, v) ~ (u = v) л

x єВ(Дx,u) з L(x,v)))). (8)

Теорема 4 (о сравнимости действительных чисел).

Для любых u, R выполняется только одно из следу­ющих условий: а) u = v, б) Н«, v) = 1, в) НУ, u) = 1.

Доказательство. Выберем произвольно u, vєR. Если u = v, то условия б) и в) не могут быть выпол­нены. Пусть u ф v. Тогда существует xє В, такой что (L(x, u)~L(x, v)), - это следует из аксиомы единс­твенности (6). Если справедливо L(x, u)лL(x, v), то не существует такого ує В, что L(y, L(y, v) (иначе, по аксиоме (3), с одной стороны, x< у, а с другой -у< х, что невозможно в силу теоремы о сравнимости рациональных чисел). Поэтому имеем VуєB (Lty, u) з L (у, v)), то есть Н(u, v) = 1 и справедливо б). Если же, наоборот, верно L(x, ы)л L(x, v), то Н^, u) = 1, то есть выполнено условие в). Теорема доказана.

Теорема 5 (о транзитивности отношения порядка на множестве действительных чисел). Для всех u, v, wє С из u< v и v< w следует u< w.

Доказательство. Пусть u, v, wє С и u< v, v< w. Если u = w, то u< v и v< u, что противоречит теореме 4 (о сравнимости действительных чисел). Поэтому u ф w. Далее, имеем VхєВ((L(x, u) з L(x, v))л(L(x, v) з з L(x, w))), то есть VхєВ(L(x, u) з L(x, w)). Значит u< w. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа