Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 109

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

3. Сложение на множестве действительных чисел

Переходим к определению сложения действи­тельных чисел. Предикат S на R3 называется преди­катом сложения, если

V u,v,w єR(S(u,v,w)~(V x,у єB(L(x,u) л L(y,v) з

з L(x + y,w)) л ( L( x,u) л — L( y,v) з — L(x + y,w))).

Из этого прямого определения непосредствен­но следует, что предикат S определен единствен­ным образом по заданным R и L.

Теорема 6 (о функциональности предиката сло­жения действительных чисел). Для любых u, R су­ществует, притом единственный, wєR, такой что S(u, v, w) = 1 .

Доказательство. Выберем произвольно u, vєR. Рассмотрим множество M={zєB|Bx, yєB((z=x+y) л лL(x, uL(y, v))}. Покажем, что существует wєR,такой что для любого xє В M(x) ~ L(x, w). Для этого
проверим, что выполнены все посылки аксиомы (7)
действительных чисел. а) Поскольку существуют
x,
уєВ такие, что L(x, u)лL(y, v), то, положив z = x+y,
получим M(z) = 1. б) Существуют x, ує В, такие
что —
L(x, u) л — L(y, v). Тогда для любых x1, у1єВ
из L(x1, u)лL(y1, v) следует (x1< x)л(y1< у). Отсюда
вытекает, что
x1+y1< x+y, то есть — M(x + у). Здесь
была использована лемма 6. в) Пусть
z1, Q и
M(z1) л — M(z2). Существуют x1, у1, у2є Q, такие
что
L(x1, u) лL(y1,          = x1+y1)л(z2 = x1+y2). Из

M(z2) следует — L(y2, v), то есть y1< y2. Отсюда вытекает x1+y1< x1+y2, то есть z1< z2 (см. лемму 4 из второй части этой работы). г) Пусть zє В и M(z). Тогда существуют x, ує В, такие что L(x, u) лL(y, v) л

= x+y). По аксиоме (4) существует у1єВ, такой что L(y1, v)л(y< у1). Полагая z1 = x+y1, получим (z< z1) л M(z1). Итак, все посылки аксиомы (7) вы­полнены, то есть существует элемент wє R, такой что M(x) ~L(x, w), причем для любых x, уєВ усло­вие L(x, u)лL(y, v) влечет L(x+y, w). В силу аксиомы (6), такой элемент w - единственный. Пусть теперь x, уєВ, L(x, u)л — L(y, v). Тогда, если предполо­жить, что L(x+y, w), то существуют x1, у1єВ, такие что x+y = x1+y1 и L(x1, u)л L(y1, v). Но последнее условие означает, что x1< x, у1< у, то есть равенство x+y = x1+y1 неверно (по лемме 10 из части 2). По­лучили противоречие с предположением L(x+y, w). Поэтому Vx, уєВ(— L(x, u) л —L(y, v) з L(x+y, w)). Теорема о функциональности S доказана.

Функциональность предиката S позволяет ввес­ти на множестве СхС функцию w = u+v, называе­мую операцией сложения действительных чисел, следующим правилом: для любых u, v,Сw = u+v тогда и только тогда, когда S(u, v, w) = 1 .

Теорема 7 (о сложении действительного числа с нулем). Для всех uє С u+0 = u.

Доказательство. Выберем произвольно uє С. Для любых х, уєВ, удовлетворяющих условию L(x, u)лL(y, 0), имеем у< 0, х+у< х, L(х+у, u) (в силу леммы 10 и теоремы 25 из второй части этой работы, а также аксиомы (3)). С другой сто­роны, для всех х, уєВ, удовлетворяющих усло­вию — L (x, u) л — L (y, 0), получаем 0 < у, x < х+у,

LCx+у, u). Учитывая определение операции сло­жения действительных чисел и аксиому (9), прихо­дим к выводу u+0 = u. Теорема доказана.

Лемма 3. Для любых u, vє С, zєВусловия L(z, u+v) (а) и Вх, уєВ^(х, u) л L(y, v)л(z= х+у)) (б) равно­сильны.

Доказательство. Выберем произвольно u,С и рассмотрим множество М, определенное в дока­зательстве теоремы 6. Тогда для любого z є В усло­вие M(z) равносильно каждому из условий (а), (б) (с учетом определения операции сложения дейс­твительных чисел), то есть (а) и (б) тоже равно­сильны. Лемма доказана.

Теорема 8 (об ассоциативности сложения дейс­твительных чисел). Для всех u, v, wє С (u+v)+w = = u+(v+w) (а).

Доказательство. Выберем произвольно u, v, wє С. Используя лемму 3 и ассоциативность сло­жения рациональных чисел, получаем следующую цепочку равносильных для любого zєВ условий: L(z, (u+v)+w); Вх, уєВ(^=х+уL(х, u+v) л L(y, w)); Вх-, у-, у єВ(^ = (хі+Уі) + у) л L (х-, u) л L (у-, vL (у, w)); Вх1, у1, у єВ(^=х1+(у1+у)) л L (х1, u) л L (у1, vL (у, w)); Вх 1, у2 є В((z = х 1+у2) л L (х 1, u) л L (у2, v+w)); L (z, u+(v+w)). В силу аксиомы (6), получаем отсюда (а). Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа