Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 111

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Разностью u—v действительных чисел u и v на­зывается число u+(-v).

Лемма 5. Для любых u, v, wє С условие u > v влечет u+w > v+w.

Доказательство. Пусть u, v, wєC и u > v. Тогда u ф v и VхєВ(L(x, v) з L(x, u)) (а). Возьмем zєВ, та­кой что L(z, v+w) = 1. Тогда (по лемме 3) Bx, уєВ (L(x, х L(y, w) л z = х+у). С другой стороны, в силу условия u > v, имеем (а) и поэтому Bx, ує В (L(x, u) л L(y, w) л z = х+у), то есть L(z, u+w) = 1. Итак, L(z, v+w) = 1 влечет L(z, u+w) = 1. Кроме того u+w ф v+w, иначе (u+w)+(-w) = (v+w)+(-w), u+(w+(-w)) = v+(w+(-w)), u+0 = v+0, u = v, а это противоречит исходному предположению u > v. Значит, u+w > v+w. Лемма доказана.

Лемма 6. Для любых x1, y1, x2, у2єС условие

(X2 > Х-) л 2 > У-) влечет Х22 > Xiі.

Доказательство. По лемме 5 и теореме 9 x2 +y2< x1 +y2 и x1 +y2 = y2 +x1 < у 1 +x1 = x1 +y 1, откуда по свойству транзитивности отношения порядка на множестве действительных чисел получаем тре­буемое неравенство. Лемма доказана.

Лемма 7. Для любого uє С условия u > 0 и -u< 0 равносильны.

Доказательство. Пусть uє С и u>0. Тогда, по лем­ме 5, u+(-u) > 0+(-u), 0 > -u. Лемма доказана.

Лемма 8. Для любых u, vє С условия u < v и -v < -u равносильны.

Доказательство. Если u, vє С и u<v, то невоз­можно -u = -v. Также неверно -u < -v, так как ина­че имеем u+(-u) < v+(-v), 0<0 — противоречие. По­этому условие u<v влечет -v<-u, а в силу равенств - (-u) = u и -(-v) = v верно и обратное. Лемма до­казана.

Лемма 9. Для любого uє С условие u > 0 влечет BxєА L(x, u).

Доказательство. Пусть для некоторого uє С вы­полнено условие VxєА L(x, u). Тогда, очевидно, если для некоторого xє В L(x, u) = 1, то х < 0. Кро­ме того, L(0, u) = 0, так как в противном случае ByєВ(L(y, u) л 0 < у) (по аксиоме (4)). Поэтому имеем VxєВ(L(x, u) з х < 0), то есть VxєВ(L(x, u) з L(x, 0)) (по лемме 4), или u < 0 (в силу определения (8)). Итак, доказано Vuє C(VxєA(—L(x, u) з u < 0). От­сюда сразу следует утверждение леммы. Лемма до­казана.

4. Умножение на множестве действительных чисел

Рассмотрим определение умножения действи­тельных чисел. Введем функцию |x|, называемую модулем действительного числа: |x| = x, если x > 0; X| = —x, если x < 0, и функцию sgn(x), называемую знаком действительного числа: sgn(x) = 1, если х > 0; sgn(x) = 0, если х = 0; sgn(x) = —1, если х < 0. Преди­кат P на С3 называется предикатом умножения, если V u, v,w є С(P(u,v,w) ~ sgn(w) = sgn(u)sgn(v) л x,у є B(x > 0 л у > 0 з L(x,| u |) л L(у,| v |) з з L(xy,| w |))л—L(x,|u |)л—L(y,| v |) з (10) з—L( xy,|w|)))))).

Из этого определения непосредственно следует, что предикат P определен единственным образом по заданным С и L.

Теорема 11 (о функциональности предиката ум­ножения действительных чисел). Для любых u, vє С существует, притом единственный, wє С, такой что P(u, v, w) = 1.

Доказательство. Выберем произвольно u, vє С. Если u = 0 или v = 0, то из (10) получаем Vwє є ССРС^ v, w) ~ sgn(w) = 0),илиVwє Q(P(u, v, w) ~ w= = 0). Рассмотрим теперь случай u ф 0 и v Ф 0. Обра­зуем множество M = {zєВ|z < 0 v (Bx, yєА(L(x, |u|) л л L(y, |v|) л z = xy))}. Проверим, что для этого множества выполнены все посылки аксиомы (7) действительных чисел. а) Очевидно, М(0) = 1. б) Существуютх,уєА, такие что L(x, |u|) л — L(y, |v|). Тогда для любых х1, у1єА, удовлетворяющих ус­ловию L(x1, |u|) лL(y1, |v|), имеем (в силу аксиомы (3)) х1< x и y1< y. По лемме 9 из части 2, получа­ем отсюда х1у1< ху, и поэтому М(ху) = 0. в) Пусть Z\, Z2єВ и выполнено условие М(^1) л — М^2) (а). Тогда либо z1 < 0, и в этом случае имеем z1< z2 (так как 0< z2), либо 0< z1. Во втором случае существуют такие х1, у1є А, что L(x1, |u|) л L(y1, |v|) л z1 = x1y1 (б), и z2 = x1y2, где y2 = x1-1z2. Из условий (а), (б) и оп­ределения множества М следует у1 = у2 (иначе име­ли бы L(y2, |v|) = 1 и М^2) = 1), откуда получаем Z1< Z2. г) Пусть zєВ и МО) = 1. Покажем, что тогда Bz1єВ(M(z1) л z< Z1) (в). Не ограничивая общнос­ти, будем считать, что zєА, так как |u| > 0, |v| > 0 и, согласно лемме существуют такие х, уєА, что L(x, |u|) л L(y, |v-1|), то есть М(ху) = 1 и хуєА. По ак­сиоме (4), найдутся х1, у1є А, такие что L (x1, |u|) л л L (у1, |v|) л х < х1 л у < у1. Тогда, полагая z1 = x1y1, получаем (в). Итак, множество М удовлетворя­ет всем посылкам аксиомы (7) и поэтому Bwє С Vzє В(МО) ~ L(z, w)). В силу аксиомы (6), такой эле­мент wединственный. При этом очевидно, что w > 0. Согласно определению множества М, имеем Vx, ує (x, |u|) л L (у, |v|) з L(xy, w)). Пусть теперь х, ує А и L(x, |u|) л— L(y, |v|). Если предположить, что L(xy, w) = 1, то существуют х1, у1єА, такие что ху = х1у1 и L(x1, |u|) л L(y1, |v|). Но тогда, согласно аксиоме (3), х1< хи у1< у, то есть x1y1< ху (по лемме 9 из части 2) и равенство ху = х1у1 не выполняется. Поэтому имеем L(xy, w) = 0. Значит, условие Vx, ує єА(— L(x, |u|) л — L(y, |v|) з L(xy, w)) выполнено. Положим w1 = w, если sgn(u)sgn(v) = 1, и w1 = - w в противном случае. Тогда |w1|=w и w1 — искомый (притом единственный) элемент множества С, для которого P(u, v, w1) = 1. Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа