Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 112

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Функциональность предиката Р позволяет ввес­ти операцию умножения действительных чисел: для любых u, v, wє С w = uv тогда и только тогда, когда P(u, v, w) = 1.

Теорема 12 (об умножении действительного числа на нуль). Для всех uєC u0 = 0u = 0 (а).

Доказательство. Как было отмечено в начале до­казательства теоремы 11, для любых u, vє С условие u = 0 v v = 0 влечет Vwє C(P(u, v, w) ~ w = 0), то есть uv = 0. Отсюда выводим (а). Теорема доказана.

Теорема 13 (о коммутативности умножения дейс­твительных чисел). Для всех u, vєC uv = vu.

Доказательство. Утверждение теоремы непос­редственно вытекает из определения (10) преди­ката умножения, теоремы 11 о его функциональ­ности и свойства коммутативности умножения рациональных чисел. Теорема доказана.

Лемма 10. Для всех u, vє С |u||v| = |uv| (а).

Доказательство. Поскольку модуль действитель­ного числа не меньше нуля (в силу леммы 7 и опре­деления модуля числа), то sgn(|uv|) = 1 тогда и только тогда, когда uv Ф 0, то есть когда sgn(|u|)sgn(|v|) = 1 (в силу теоремы 12). Поэтому sgn(|uv|) = sgn(|u|)sgn(|v|). Отсюда, используя определение (10) и теорему 11, выводим (а). Лемма доказана.

Лемма 11. Для любых u, vє С, zєA условия L(z, |uv|) = 1 (а) и Bx, yєА(L(x, |u|) л L(y, |v|) л z = xy) (б) равносильны.

Доказательство. Выберем произвольно u, vє С и рассмотрим множество М = ^B|z < 0 v Bx, yєА(L(x, |u|) л L(y, |v|) л z = xy)}. Тогда, по опреде­лению операции умножения действительных чи­сел, для любого zє А условие МО) = 1 равносильно каждому из условий (а), (б) (см. доказательство теоремы 11), то есть (а) и (б) равносильны. Лемма доказана.

Теорема 14 (об ассоциативности умножения дейс­твительных чисел). Для всех u, v, wє С (uv)w = u(vw)

(а).

Доказательство. Для любых u, v, wє С имеем (sgn(u)sgn(v))sgn(w) = sgn(u)(sgn(v)sgn(w)) (б), в силу свойства ассоциативности умножения рациональ­ных чисел. Используя снова это свойство и леммы 10, 11, получаем цепочку равносильных для любого zє А условий^^ |(uv)w|);L(z, |uv||w|);Bx, yєА(L(x, \uv\) л л L(y, |w|)лz = xy); Bx1, y1, yєА(L(x1, |u|) л L(y1, |v|) л л L(y, |w|) л z = (xyi)y); Bx-, у-, уєА(L(xl, |u|) л LCy-, л L(y, |w|) л z = Xi(y7y)); L(z, |u||vw|); L(z, |u(vw)|). Но тогда |(uv)w| = |u(^)|. С учетом условия (б), полу­чаем (а). Теорема доказана.

Для доказательства теоремы о дистрибутивности умножения действительных чисел введем понятие А-сечений и действий над ними. При этом несколь­ко отойдем от заданного стиля, и будем ссылаться на книгу Э. Ландау «Основы анализа» [3].

А-сечением назовем любое множество Хполо-жительных рациональных чисел, которое обладает следующими свойствами:

а) Bx є А x є X;

б)    Bx є А x g X;

в)    Vx, уєА (xєX л ygX) з x< у;

г) VxєX ВуєХ у> x.

Если xєX, будем называть его нижним числом относительно X, а если xgX— соответственно вер­хним числом относительно X.

А-сечения Xи Y называются равными (обозна­чается X = Y), если VxєА ~ (x єУ). В против­ном случае А-сечения Xи Y не равны (обозначается X ф Y).

А-сечение X больше А-сечения Y (обозначается X> Y), если Bx є А: ( x єX) л ( x g Y) .

Пусть X и Y А-сечения. Множество положи­тельных рациональных чисел, представимых в виде x + y, где x є X, а y є Y, называется суммой А-сечений Xи Yи обозначается X+ Y.

Пусть X и Y А-сечения. Множество положи­тельных рациональных чисел, представимых в виде xy, где x є X, а y є Y, называется произведением А-сечений Xи Yи обозначается XY.

Сумма и произведение сечений также являются сечениями [3].

Лемма 12 (дистрибутивность для А-сечений). Пусть X, Y и Z — А-сечения. Тогда выполняется со­отношение X(Y+Z) = XY+XZ.Доказательство.

1)  Каждое нижнее число относительно X(Y+Z) имеет вид x (y+z) = xy + xz, где x єX, а у єY, zєZ. Но xy + xz — нижнее число относительно XY+XZ.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа