Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 113

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

2)  Каждое нижнее число относительно XY+XZ имеет вид xy + Xz, где x, X єX, у єY, zєZ. В случае х > X обозначим через X'число x; в случае x < X — число X. В обоих случаях X'є X и, значит, X'(y+z) — нижнее число относительно X(Y+Z). Из нера­венств xy < X'у, Xz< X'z следует xy+Xz< X'y+X'z = =X'(y+z), а значит, xy+Xz будет нижним числом и относительно X(Y+Z). Лемма доказана.

Следующие три леммы относятся к теории дейс -твительных чисел.

Лемма 13. Для всех      C -(u+v) = -u + (-v).

Доказательство. Из коммутативности сложения действительных чисел следует, что -(u+v) = -(v+u) и -u+(-v) = -v + (-u), поэтому без ограничения об­щности можно предполагать, что u > v.

1)Если u>0, v>0, то -u+(-v) = -(u + v).

2)Если u>0, v = 0, то -u+(-v) = -u + 0 = -u = = -(u + 0) =-(u+v).

3)Если u >0, v< 0, то либо а) u>|v|, и, следова­тельно, u+v = u - |v|, -u+(-v) = - u + |v| = - u( - |v| ) = =-(u+v); либо б) u = |v|, и, следовательно, -u+v = 0, -u+(-v) = - u + |v| = 0 = -(u+v); либо в) u < |v| , и, сле­довательно, u + v = -( |v| - u), -u+(-v) = - u + |v| = = |v| - u = - (u + v).

4)Еслиu = 0,то- u+(-v) = 0 +(-v) = -v = -(0+v ) =

= - (u+v).

5)Если u< 0, то v < 0, u+v = -(|u|+|v|) и - u+(-v) = = |u|+|v| = - (u+v). Лемма доказана.

Лемма 14. Для всех      С -(u - v) = v - u.

Доказательство. По лемме 13 имеем - (u-v) = =-(u+(-v)) = -u+(-(v))= - u + v = v +(-u)= v - u. Лемма доказана.

Лемма 15. Любое действительное число u є С мо­жет быть представлено в виде разности двух поло­жительных чисел.

Доказательство. Если u >0, то u = (u + 1) -1. Если u = 0, то u = 1-1. Если u<0, то -u = u = (|u|+1) -1 и u = -((|u|+1) -1) = 1-(|u|+1). Лемма доказана.

Поскольку между А-сечениями и положитель­ными действительными числами существует вза­имно однозначное соответствие, положительные действительные числа можно считать именами А-сечений. Таким образом, под разностью двух А-се-чений будем понимать разность двух соответству­ющих положительных действительных чисел. Эти числа будем обозначать так же, как и А-сечения, заглавными латинскими буквами.

Лемма 16. Из u = X1-X2, v = Y1-Y2, следует u+v = (X1+Y1) - (X2+Y2).

Доказательство.

1) Пусть u >0, v >0. Поскольку для произволь­ных положительных чисел K, L, M, N (K + L) + +(M + N = (K + L) + (N + M = C(K + L) + N + M= = M + ((K + L) + N = (M + K) (L + N), то (u + v) + + (X2 + Y2) = X1+Y1, и, значит, утверждение леммы справедливо.

2)   Пусть u < 0, v < 0. Тогда, по лемме 13,
X2 - X1 = -u >0, Y2-Y1 = -v >0 и, значит, в силу 1),
-u+(-v)
= (X2+Y2) - (X1+Y1), u+v = - (- u+(-v )) =
=
(X1+Y1) - (X2+Y2).

3) Пусть u >0, v< 0, так что X1 - X2 >0, Y2-Y1 >0.

а)     Еслиu >|v|,тоX1 - X2 > Y2-Y1и,следовательно,X1
+ Yi = ((Xi + X2) - X2) + Yi = (Xi - X2) + (X2 + Yi) =
=
(X2 + Yi) + (Xi - X2) = (X2+Y1) + ((Y2 - Yi) + ((Xi -

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа