Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 115

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

3) При Y < Z, в силу 1), имеем X(Z - Y) = XZ - XY", откуда X(Y- Z) = X(-(Z- Y)) = -(X(Z- Y)) = -(XZ-

-   XY) = XY - XZ. Лемма доказана.

Теорема 15 (о дистрибутивности умноже­ния действительных чисел). Для всех u, v, w є С u(v + w) = uv + uw.

Доказательство.

1) Пусть u >0. По лемме 15, v = Y1 - Y2, w = Z1 - Z2. Тогда, по лемме 16, v + w = (Y1 + Z1) - (Y1 + Z2), сле­довательно, по леммам 12 и 17, u(v + w) = u(Y1 + Z1) -

-   u(Y1 + Z2) = (uY1 + uZ1) - (uY2 + + uZ2) и, значит, по леммам 16 и 17, u(v + w) = u(Y1 - Y2) + u(Z1 - Z2) = = uv + uw.

2) Пусть u = 0. Тогда u(v + w) = 0 = uv + uw.

3)    Пусть u < 0. Тогда, в силу 1), (-u)(v + w)=
= (-u)v +(-u) w,
следовательно, (-u(v + w))=
= (-u)v + (-u)w,
и u(v + w) = -((-u)v + (-u)w) =
=
-((-u)v) + (-((-u)w)) = uv + uw. Теорема доказана.Теорема 16 (о соответствии операций сложе­ния, умножения и отношения порядка на множес­твах рациональных и действительных чисел). Для

любых z1, Z.2, ZєВ условия z1 + Z2 = Z (а), z1Z2 = Z (б), z1 < z2 (в) равносильны, соответственно, условиям S(Zi, Z2, Z) = 1 (at), P(Zi, Z2, Z) = 1 (бґ), H(Zi, Z2) = 1 (вґ), где S, P, H — предикаты сложения, умножения и порядка на множестве действительных чисел.

Доказательство. Пусть z1, Z2, ZєВ. Тогда, по тео­реме 2 z1, Z2, zє С. Предположим, что выполнено ус­ловие (а). Выберем х, ує В так, что х< z1, у< Z2, то есть L(x, zi) = L(y, z2) = 1. Тогда (по лемме 10 из второй части этой работы) х+у< z1+Z2, то есть L(x+y, z) = 1. Если же z1<x, z2<y, то есть L(x, z1) = L(y, z2) = 0, то z1+Z2<x+y, L(x+y, z) = 0. Поэтому условие (а) влечет (аґ). В силу теоремы о функциональности предиката S, последнее означает равносильность условий (а) и (аґ). Предположим, что выполне­но условие (б). Тогда, если х, уєА и х<|^1|, y<|z2|, то, по лемме 9 из части 2, xy<|z1||z2| = |z|, то есть ус­ловие L(x, | z1|) = L(y, |z2|) = 1 влечет L(xy, |z|) = 1. Если же |z1|<x, |z2|<y, то |z|=|z1||z2|<xy, то есть усло­вие L(x, |z1|)=L(y, |z2|) = 0 влечет L(xy, |z|) = 0. Легко убедиться также в том, что sgn(z)=sgn(z1)sgn(z2). Например, если z1< 0, z2> 0, то есть sgn(z1) = —1, sgn(z2) = 1, то (— z1) > 0 (по лемме 8 из части 2), (—Zi)Z2 = (C—1)Zi)Z2 = C—lXZiZz) = — Z1Z2 > 0, Z1Z2 < 0, sgn(z) = sgn(z1z2) = —1 = sgn(z1)sgn(z2). Таким об­разом, условие (б) влечет (бґ). В силу теоремы о функциональности предиката Р, выводим отсю­да равносильность (б) и (бґ). Предположим, на­конец, что выполнено условие (в). Тогда z1 Ф Z2 и для любого хє В условие х< z1 влечет х< z2 (в силу транзитивности отношения порядка на множест­ве рациональных чисел), то есть L(x, z1) = 1 влечет L(x, z2) = 1. Значит (вґ) следует из (в). Аналогично, условие z2< Z1 влечет Н^2, z1) = 1. Используя теоре­му о сравнимости действительных чисел, прихо­дим к выводу о равносильности условий (в) и (вґ). Теорема доказана.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа