Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 32

Бібліогр.: 8 найм.

UDC 519.7

The ideas algebra isomorphisms / M.F. Bondarenko, S.Yu. Shabanov-Kushnarenko, Yu.P. Shabanov-Kushnarenko // Bionics of Intelligence: Sci. Mag. — 2010. — № 2 (73). —

С. 40—50.

It is offered bionic approach to a problem of construction of an artificial intelligence. The specialized mathematical in­strument for effective simulation of activity of mechanism of human intellect develops.БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2010. № 2(73). С. 51-61

УДК 519.7

ИНТЕРПРЕТАЦИИ АЛГЕБРЫ ИДЕЙ

\hfyіД     М.Ф. Бондаренко1, С.Ю. Шабанов-Кушнаренко2, Ю.П. Шабанов-Кушнаренко3

В статье разработан абстрактный эквивалент алгебры конечных предикатов — алгебра идей. Рассмот­рена формальная числовая интерпретация алгебры идей для разных размерностей. В алгебре идей введен частичный порядок. Разработано несколько содержательных интерпретаций алгебры идей — смысловая, ситуационно-предикатная и ситуационно-кодовая.

КОМПАРАТОРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ, МЕТОД СРАВНЕНИЯ, АЛГЕБРА КОНЕЧНЫХ ПРЕ­ДИКАТОВ, ПРЕДИКАТ РАВЕНСТВА, ТЕОРИЯ ИНТЕЛЛЕКТА, АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯНастоящая статья является продолжением ра­боты [1]. В этих работах рассматривается задача построения абстрактного эквивалента алгебры конечных предикатов, которая, в свою очередь, используется для формального описания законо­мерностей интеллектуальной деятельности. Этот абстрактный эквивалент, названный нами алгеб­рой идей, необходим для дальнейшего развития теории интеллекта. В роли прототипа алгебры идей в работе использована алгебра одноместных k -ич-ных предикатов первого порядка. Разработана ак­сиоматика алгебры идей.

1. Числовая интерпретация алгебры идей

В [1] был рассмотрен ряд интерпретаций ал­гебры идей. В этой статье описывается еще одна интерпретация алгебры идей, называемая нами алгеброй чисел. К алгебре чисел приходим, заменяя элементы канонической алгебры идей их номера­ми. В табл. 1 представлены в виде примера опера­ции дизъюнкции идей (в данной интерпретации — натуральных чисел) при n = 1, 2 и 3.

Таблица 1

Можно, если угодно, считать, что таблицей 1 заданы некоторые функции 2-, 4-, и 8-значной ло­гики [2, с. 35]. При n = 1 приходим к такой алгебре чисел, для которой роль дизъюнкции идей выпол­няет операция дизъюнкции двузначной логики. Однако при любом n >1 операция дизъюнкции идей в алгебре чисел не совпадает с дизъюнкцией 2n -значной логики x v y = max(x, y), поскольку в алгебре чисел любой размерности n>1 1v2=3, а в 2n -значной логике 1 v 2=2. Имеется важное отли­чие семейства всех алгебр чисел от семейства всех многозначных логик с операцией дизъюнкции. Оно состоит в том, что алгебры чисел могут быть заданы лишь на множествах, состоящих из 2n эле­ментов. Многозначные же логики могут быть зада­ны на множестве с любым числом элементов k .

Опишем на языке алгебры конечных предика­тов в форме неявного задания [3, с. 68] операцию дизъюнкции идей для n -мерной алгебры чисел. С этой целью введем предикат

P0(x, y, Z) = x0 y0 z° (1) и предикат Pk (x,y,z), соответствующий отноше-

k k

нию x v y = z . Символом v обозначена операция дизъюнкции идей в алгебре чисел размерности k (k =1,2,...). Предикат Pk+1(x,y,z) соответствует от-

k+1                      k+1

ношению x v y = z . Символ v обозначает опера­цию дизъюнкции идей в алгебре чисел размерности k +1 Аргументы Pk(x,y,z) предиката Pk(x,y,z) заданы на множестве {0,1,..., 2k-1}. Предикат Pk+1 можно выразить через предикат Pk с помощью следующей зависимости:

Pk+1(x,y,z) = Pk(x,y,z) v Pk(x,y _ 2k,z_ 2k) v vPk (x _ 2k, y,z _ 2k) v Pk (x _ 2k, y _ 2k, z _ 2k).

Первое слагаемое, стоящее в правой части ра-

k+1

венства (2), задает значения операции z = x v y , содержащиеся в левой верхней четверти ее табли­цы. Второе слагаемое задает правую верхнюю чет­верть таблицы. Появление разностей y _ 2k и z _ 2k на месте второго и третьего аргументов предиката Pk обусловлено тем, что все значения перемен­ных y и z, связанные с ячейками правой верхней четверти таблицы, возрастают на величину 2k по сравнению со значениями тех же переменных для соответствующих ячеек левой верхней четверти таблицы. Третье слагаемое задает значения опера­ции дизъюнкции идей для нижней четверти табли­цы, а четвертое — для правой нижней. Появлениеразностей на месте аргументов предиката Pk в этих слагаемых обусловлено ростом значений соответс­твующих переменных на величину 2k по сравне­нию с их значениями для левой верхней четверти таблицы. Неявное задание операции дизъюнкции идей для n -мерной алгебры чисел получаем, выра­жая по формуле (2) предикат Pn через предикат Pn, предикат Pn — через предикат Pk_2 и т.д. до тех пор, пока не дойдет до предиката P0. Предикат же P0 выражаем по формуле (1).

В качестве примера найдем описанным спосо­бом формулы, задающие в неявном виде операцию дизъюнкции идей для одномерной и двумерной алгебр чисел. Принимая k =0 по формулам (2) и (1) находим:

P1( x, y, z) = P,( x, y,z) v P0(x, y _ 20,z _ 20) v

vP0( x _ 20, y, z _ 20) v P0( x _ 20, y _ 20, z _ 20) =

= x0y0 z0 v x0(y _ 1)0 (z _ 1)0 v (x _ 1)0 y0 (z _ 1)0 v

v(x _ 1)0(y _ 1)0(z _ 1)0.

В алгебре конечных предикатов при любых нату­ральных значениях x,a,b имеет место следующее равенство:

(x _ a)b = xa+b (3)

Действительно, если (x_a)b = 1, то x_a = b, x = a + b, xa+b = 1; если же (x _ a)b = 0 , то x _ a ф b , x ф a + b, xa+b = 1. Пользуясь зависимостью (3), получаем окончательное выражение, задающее в неявном виде операцию дизъюнкции идей для од­номерной алгебры чисел:

Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа