Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 93

Изменение формулировок аксиом привело к необходимости замены доказательств большинс­тва теорем, а иногда и их формулировок. К ним, в частности, относятся теоремы о существовании и единственности предикатов S и P, без которых вывод основных свойств сложения и умножения не представляется возможным. В заключение под­черкнем, что полученные в настоящей статье ре­зультаты следует расценивать лишь как перевод достижений уже существующей аксиоматической теории натуральных чисел, ориентированный на решение формального описания категории коли­чества. Как это обычно бывает при выполнении подобных работ, в ранее полученных не полностью формализованных описаниях выявляются неко­торые пробелы и производятся соответствующие дополнения и доработки, которые, однако, не за­трагивают существа теории, созданной предшест­венниками.

Список литературы: 1. Баталин, А. В. О теории натураль­ного ряда [Текст] / А. В. Баталин, З. В. Дударь, С. А. Пос­лавский, С. Ю. Шабанов-Кушнаренко // АСУ и приборы

автоматики. Науч.-техн. журнал — 1998. № 107. — С. 135­144. 2. Баталин, А. В. О теории рациональных и вещест­венных чисел [Текст] / А. В. Баталин, С. А. Пославский, С. Ю. Шабанов-Кушнаренко// АСУ и приборы автоматики. Науч.-техн. журнал — 1998. № 107. С. 155-164. 3 Баталин, А. В. О лингвистической алгебре [Текст] / А. В. Баталин, З. В. Дударь, А. В. Стороженко, Ю. П. Шабанов-Кушнаренко // Радиоэлектроника и информатика. Науч.-техн. журнал

—        1998. № 4. — С. 101-109. 4. Рассел, Б. История западной философии. [Текст] / Б. Рассел— М.: ИЛ, 1959. —932 с. 5. Баталин, А. В. О системном анализе информационных процессов [Текст] / А. В. Баталин, А. Д. Тевяшев, Ю. П. Шабанов-Кушнаренко // Радиоэлектроника и информа­тика. Науч.-техн. журнал — 1998. № 3. — С. 102-110. 6. Бурбаки, Н. Теория множеств. [Текст] / Н. Бурбаки.— М.: Мир, 1965.— 449 с. 7. Ландау, Э. Основы анализа. [Текст] / Э. Ландау.— М.: ИЛ, 1947.—182 с. 8. Шабанов-Кушнарен-ко, Ю. П. Теория интеллекта. Математические средства. [Текст] / Ю. П. Шабанов-Кушнаренко.— Х.: Вища школа, 1984.— 142 с. 9. Шабанов-Кушнаренко, Ю. П. Теория ин­теллекта. Проблемы и перспективы. [Текст] / Ю. П. Шаба-нов-Кушнаренко.—Х.: Вища школа, 1987.— 159 с. 10. Вейль, Г. Математическое мышление. [Текст] / Г. Вейль.— М.: Наука, 1989.— 398 с. 11. Куратовский, К. Теория множеств. [Текст] / К. Куратовский, А.. Мостовский.— М.: Мир, 1970.— 413 с.

поступила в редколлегию 15.04.2010БИОНИКА ИНТЕЛЛЕКТА. 2010. № 2(73). С. 140-149

УДК 519.7

О ТЕОРИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

М.Ф. Бондаренко1, Н.П. Кругликова2, С.А. Пославский[1],
intelligeSe    Ю.П. Шабанов-Кушнаренко4Предпринимается попытка формального описания категории количества. С этой целью на языке алгебры подстановочных операций дается аксиоматическая характеристика понятий натурального числа, счета, сложения, умножения и порядка на множестве натуральных чисел. Идентифицируются первичные понятия теории положительных и произвольных рациональных чисел. Средствами логичес­кой математики проводится аксиоматическая характеризация понятий теории действительных чисел и арифметических действий над ними. В статье развиваются идеи, сформулированные в работах [1, 2].

РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, ПРЕДИКАТ, АЛГЕБРА ПРЕДИ­КАТНЫХ ОПЕРАЦИЙВначале остановимся на интуитивном пони­мании рациональных чисел. Рациональные числа можно наглядно представить как точки на пря­мой. Нанесем на прямой, двигаясь слева направо, на равных расстояниях друг от друга бесконечный ряд точек 1, 2, 3,..., представляющих собой все на­туральные числа. Слева от точки 1 наносим на том же расстоянии точку 0 (рис. 1).

         •        •        •        •            

0        1       2 3 Рис. 1. Наглядное представление рационального числа

Разделим отрезок 0т, где т — какое-нибудь на­туральное число, на n равных частей. Полученный отрезок откладываем вправо от точки 0, его правый конец интерпретируем как положительное рацио­нальное число m/n. На рис. 2 на прямой нанесена точка 3/2, получаемая при т=3 и n=2.

-3/2      0       1 3/2 2 3 Рис. 2. Множество всех рациональных чисел

Точки, соответствующие всевозможным парам натуральных чисел (m, n), вместе взятые, образуют множество всех положительных рациональных чи­сел. Откладывая полученный ранее отрезок влево от точки 0, получаем отрицательное рациональ­ное число -m/n. На рис. 2 нанесена точка, соот­ветствующая числу -3/2. Положительные и отри­цательные рациональные числа, вместе с числом 0, образуют множество всех рациональных чисел. Все натуральные числа являются также положи­тельными рациональными числами. Сложение х+у рациональных чисел х и у определяем как присо­единение справа к отрезку, представляющему чис­ло х, сдвинутого отрезка, представляющего число у. Вычитание определяем как операцию, обратную сложению. Умножение рационального числа m/n на натуральное p осуществляется его р-кратным сложением с самим собой. При умножении на -p полученный отрезок откладываем в противопо­ложную от точки 0 сторону. Умножение m/n на ра­циональное число p/q достигается умножением его на целое р с последующим делением полученного отрезка на q частей. Деление рациональных чисел определяем как операцию, обратную умножению. Полагаем, что х < у, если точка, представляющая рациональное число х, находится на прямой левее, чем точка, представляющая рациональное число у.

1. Положительные рациональные числа

Приступаем к формальному определению поня­тия положительного рационального числа. Вводим множество всех положительных рациональных чи­сел, которое обозначаем символом A. Полагаем, что множество N натуральных чисел с определен­ными на нем операциями сложения и умножения и отношением строгого порядка уже выбраны. Вводим, далее, предикат R (x, y, z), определенный на N х N х A. Соответствующее ему отношение ин­терпретируем как связь между натуральными чис­лами x, y и положительным рациональным числом z = x/y. Числа x, y и z связывает уравнение yz = x.

Если z рассматривать как натуральное число, то это уравнение будет разрешимо относительно z не при любых натуральных x и y. Требуя, чтобы урав­нение yz = x было разрешимо относительно z при любых натуральных x и y, мы, тем самым, расши­ряем множество натуральных чисел до множества всех положительных рациональных чисел. Преди­кат R (x, y, z) связывает положительное рациональ­ное число z с породившей его парой натуральных чисел x, у.

Множество A и предикат R на Nх Nх A фор­мально определяем следующими четырьмя свойс­твами, называемыми аксиомами положительных рациональных чисел:включения

V x, y,z є N Vz' є A(yz = x л R(x, y, z') з z = z'); (1) функциональности

V x,y єN B !z є A R(x,y,z); 2) сюръективности

V zє A B x,y єN R(x,y,z); (3) равенства дробей

V x,x'y,y' єN((Bzє A R(x,y,z)л
лR(x',y',z))~ xy' = x' = x'y).               ( )

Содержательно аксиома (1) означает, что если имеется натуральное число z, удовлетворяющее ус­ловию yz = x, где x, y — произвольно выбранные на­туральные числа, и положительное рациональное число z , удовлетворяющее условию x/y = z (то есть уравнению yz = x), то z = z . Таким образом, отоб­ражение x/y = z , когда x нацело делится на y, дает тот же результат, что и решение уравнения yz = x, относительно переменной z. Иными словами, если область определения переменной z предиката R (x, y, z) сузить до множества N, то предикат R (x, y, z) превратится в предикат P (y, z, x). Аксиома (2) озна­чает, что предикат R (x, y, z) определяет некоторую функцию r (x, y) = z, r:N х N—»A. То есть решение уравнения yz = x относительно z всегда существует и единственно в области положительных рацио­нальных чисел. Функция r (x, y) запишется в виде дроби: r (x, y) = x/y. Равенство x/y = z означает то же самое, что и условие R (x, y, z) = 1. Аксиома (3) означает, что любое положительное рациональное число можно представить в виде дроби. Иначе го­воря, функция r cюръективна. Аксиома (4) выра­жает известное правило, определяющее равенство дробей: при любых натуральных x, X, y, У значения дробей x/y и X/У совпадают в том и только том случае, когда xy = x y. Множество A, удовлетворя­ющее аксиомам (1)^(4), называется множеством положительных рациональных чисел. Предикат R (x, y, z) называется формирователем положительных рациональных чисел. Он ставит в соответствие каж­дой паре натуральных чисел x, y единственное по­ложительное рациональное число z = x/y.

Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа