Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 98

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Смысл этой теоремы состоит в том, что на мно­жестве натуральных чисел вводимые теперь преди­каты сложения, умножения и порядка совпадают с введенными ранее.

Доказательство. Пусть z1, Z2, zєN. Тогда имеем z1, Z2, Z є А (по теореме 2) и R (z1, 1, z1) = R (z2, 1, Z2) = = R (z, 1, z) = 1 (г) (см. доказательство теоремы 2). Если выполнено условие (а ), то, согласно (г) и определению (1 ), получаем R (z1 + z2, 1, z) = 1. Ис­пользуя аксиому включения (1), выводим отсюда (а). По теореме 4, предикат S обладает свойством функциональности. Поэтому условия (а) и (а') рав­носильны. Предположим теперь, что выполнено условие (б ). Тогда (согласно (г) и определению (2' )) получаем R (z1Z2, 1, z) = 1, откуда вытекает (б). Используя функциональность предиката Р, при­ходим к выводу о равносильности условий (б) (б ). Пусть, наконец, выполнено условие (в ). Тогда, в силу (г) и определения (5 ), получаем (в), а из те­оремы о сравнимости положительных рациональ­ных чисел выводим равносильность условий (в) и (в ). Теорема доказана.

Эта теорема позволяет в дальнейшем использо­вать единые обозначения для операций сложения, умножения и для записи отношения порядка на множествах натуральных чисел и положительных рациональных чисел.

Лемма 3. Для любых z1, Z2&A условия z2< Z1 и BzєA Z1 = Z2+Z равносильны.

Доказательство. Пусть z1, Z2єA и z2 < Z1. Тогда существуют такие x1, у1, x2, у2є N, что R (x1, y1, z1) = =R (x2, y2, z2) = 1 и x2y1 < x1y2. В силу определе­ния отношения порядка для натуральных чисел, найдется uєN такое, что x1y2 = x2y1 + u. По ак­сиоме функциональности (2) В^єА R(u, у1у2, z). Тогда из условий R (x1, у1, z1) = R (x1y2, у1у2, z1) =

=R (X2yi + u, У1У2, Zi) = R ((X2y- + u)y2, іУ22, Z-) = =R ^(УУ*) + uy2, у2 1У2), Zi) = 1 и R (X2, У2, Z2) = 1

следует z1 = z2+z. (Здесь были использованы акси­ома равенства дробей (4), а также свойства комму­тативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения натуральных чисел). Пусть теперь для некоторых Z\, Z2, zє A выполнено условие z1 = Z2+Z. Тогда существуют x2, y2, x, є N, удовлетворяю­щие условиям R(x2, y2, z2) = R (x, y, z) = R(x2y + +xy2, y2y, z1) = 1. И поскольку x2(y2y)<(x2y + xy2)y2 = =x2(y2y)+(xy2)y2, то получаем z2 < Z1. Лемма доказана.

Теорема 12 (о транзитивности отношения порядка на множестве положительных рациональных чисел).

Для всех х, у, zєA из x< у и у< z следует x< z.

Доказательство. Пусть х, у, zє A и x< у, у< z. Тогда (по лемме 3) существуют u, vє A, такие что у = х + u, Z = у + v. Отсюда вытекает z = (x + u) + v = х + (u + v) (в силу ассоциативности сложения), то есть х< z. Теорема доказана.

Дальнейшее развитие теории положительных рациональных чисел выходит за рамки теории ин­теллекта и поэтому здесь не рассматривается.

2. Произвольные рациональные числа

Пусть задано множество A положительных ра­циональных чисел, для которых определены опера­ции сложения и умножения. Определим множест­во В всех рациональных чисел и предикат T (x, у, z) на AхAхB, называемый формирователем рациональных чисел, который связывает рациональное число z с задающими его положительными рациональными числами x и у, следующими аксиомами: включения

V       x, у, z є A, V z' є B(у + z = x л T(x, у, z') з z = z'); (7) функциональности

V x,у є A В !zєВ T(x,у,z); (8) сюръективности

V z є В В x,у є A T(x,у,z); (9) равенства разностей

V         x,X,у,у' є A((B z є ZT(x,у,z) л T(X,у',z')) ~

~ x + y = x + y).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа