Автор неизвестен - Информация, язык, интеллект - страница 99

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 

Лемма 4. Для любых x, у, zєA условие x = у равно­сильно x + z = у + Z, а x< у равносильно x + z< у + Z.

Доказательство. Для произвольных x, yєA вы­полнено в точности одно из условий x = у (а), x< у (б), y< x (в). В случае (а), очевидно, имеем для лю­бых zєA x + z = у + Z. Если выполнено условие (б), то по лемме 3 существует uє A, такое что у = x + u. Тогда у + z = (x + u) + z = (x + z) + u при любом zє A и, снова используя лемму 3, получаем x + z < у + Z. Аналогично, в случае (в) имеем для произвольно­го zєA у + z < x + z. Поскольку перечислены все возможные случаи и они взаимно исключают друг друга, доказательство леммы завершено.

Теорема 13 (о существовании множества рацио­нальных чисел и их формирователя). Существуют множество В и предикат Т на АхАхВ, удовлетворя­ющие аксиомам рациональных чисел.

Доказательство. Определим на множестве М=АхА предикат E условием V(x1, у1), (х2, у2М Е((хі, у-), (х22)) ~ і2 = х2і). Этот предикат, очевидно, обладает свойствами рефлексивности и симметричности. Покажем, что он транзитивен.

Пусть Е((х1, у1), (х2, у2)) = Е((х2, у2), (х3, у3)) = 1 для

некоторых х1, у1, х2, у2, х3, у3єА. Тогда х1+у2 = х2+у1, х2+у3= х3+у2     и     поэтому (х1+у2)+(х2+у3)=

=(Х2+у-)+(Хз2), (х-+уз)+(Х22) + у-)+(х2 + у2).

Используя лемму 4, получаем х1+у3 = х3+у1, то естьЕ((х1, у1), (х3, у3)) = 1. Поэтому предикат Е тран-зитивен. А следовательно Е — эквивалентность, и множество М разбивается на смежные клас­сы так, что (х1, у1) и (х2, у2) принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда х1+у2 = х2+у1. В каждом классе имеется, притом единствен­ный, элемент (х, 1), где х> 1, либо (1, у), где у > 1. Действительно, если в паре (х1, у1) х1>у1, то по лемме 3 существует zєА, такой что х1 = у1+^. Тог­да х1+1 = (у1+ z)+1 = (z + 1) + у1, то есть выполне­но условие Е((х1, у1), (z+1,1)) = 1, а значит Е((х1, у1), (х,1)) = 1, где х = z + 1 > 1. Аналогично, если в паре (х1, у1) у1> х1, то существует уєА, у>1, такой что Е((х1, у1),(1, у)) = 1. Если же х1= у1, то, оче­видно, выполнено условие Е((х1, у1), (1, 1)) = 1. В случае Е((х, 1), (1, у)) = 1, где х>1, у>1, получаем х+у = 1+1. Тогда х = у = 1, иначе либо х>1, либо у>1, либо верны оба неравенства, и в любом из этих случаев существует uє А, такое что х + у = (1+1)+ u, а значит (по лемме 3) х + у > 1+1. Если Е((х, 1), (X, 1))=1 (или Е((1, у), (1, у)) = 1), то х+1 = 1+Х (со­ответственно у+1 = 1+у), откуда (по лемме 4) по­лучаем х = х (соответственно у = у ). Сформируем теперь множество В, выбирая из каждого класса эквивалентности такого представителя (х, у), что либо х> 1 и у = 1, либо х = 1 и у>1. Элементы мно­жества В вида (х, 1), где х >1, будем отождествлять с элементами zє А, такими что х = 1 + z. (единствен­ность такого представления вытекает из леммы 4). Предикат Тна АхАхВ определим условием Vx, у, то х+1=1+Х Vzє В Т(х, у, z) ~ (Vx', у є А z = (X, у) з х+ у = X+у). Проверим, что множество В и предикат Т удовлетворяют всем аксиомам рациональных чисел. 1) Пусть для некоторых х, у, zєА у+z = х. Для любого Zє В, Z = (X, у) условие Т (х, у, Z) = 1 означает, что х+у=Х+у, тогда (у+z)+У=Х+у, ((zНу )+У=(Х +1)+у, ^+1)+у=Х+1, то есть Е((г+1), 1), (X, у))=1, Z=z (так как элемент (z+1, 1)єВ отождествляется с z). 2) Для любых х, уєА существует единственный zєВ, z=(Х, у), та­кой что Е((х, у), z) = 1. Тогда х+у = X+у и, по оп­ределению предиката Т, Т(х, у, z) = 1. 3) Для любого ZєВ существуют х, уєА, такие что z = (х, у). Тог­да, в силу очевидного равенства х+у = х+у, имеем Т(х, у, z)=1. 4) Для произвольных х, X, у, уєА усло­вие х+у=Х+у означает, что пары (х, у) и (X, у) при­надлежат одному смежному классу. Но у каждого такого класса есть свой представитель во множест­ве В, то есть существует такой zєВ, что Т(х, у, z) = = Т (X, у, z) = 1. Теорема доказана.

Теорема 14 (о включении положительных рацио­нальных чисел в рациональные). Все положительные рациональные числа являются также рациональными.

Теорема означает, что множество рациональ­ных чисел является расширением множества поло­жительных рациональных чисел, то есть что A с В.

Доказательство. Выберем произвольно у, zєA и пусть y+z = x, где хєA. По аксиоме (8) существу­ет, притом единственный, элемент Zє В, такой что T(x, у, Z). Но тогда, в силу (7), получим z = Z, то есть zє В. Теорема доказана.

Теорема 15 (об изоморфности множеств раци­ональных чисел). Пусть A - множество положи­тельных рациональных чисел, а множества В, В и предикаты T, T на AхAхB и AхAхB'удовлетворяют аксиомам (7)-(10). Тогда существует биекция ф: В—В, такая что для любых x, yєA и zєB T(x, у, z)= = T' (x, у, фф).

Доказательство. В силу аксиомы (8), для любых x, yєA ЦєВ T(x, у, z)WB!Z є В' T(x, у, Z)). Рас­смотрим следующее отношение Ф на В х В: VzєB VzЄB(z, Z) ~ (Bx, yєA T(x, у, zVT'(x, у, Z))). По­кажем, что Ф порождает биекцию ф:В—В. В силу (9), для любого zєB существуют такие x, у є А, что T(x, у, z). По аксиоме (8) В!г'єВ' T'(x, у, Z). Поэ­тому Ф(^, Z) = 1. Покажем, что последнему ра­венству удовлетворяет единственный Zє В' (при фиксированном zєB). Предположим, что Z' ВZ 0 = 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122 


Похожие статьи

Автор неизвестен - 13 самых важных уроков библии

Автор неизвестен - Беседы на книгу бытие

Автор неизвестен - Беседы на шестоднев

Автор неизвестен - Богословие

Автор неизвестен - Божественность христа