В М Серединська, О М Загородна, Р В Федорович - Економічний аналіз - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75 

Якщо гравець Р1 прийме оптимальну змішану стратегію, то, незалежно від стратегії гравця Р2, він повинен отримати однаковий середній прибуток.

Позначимо частоту використання гравцем Р1 стратегії А через f тоді частота використання ним стратегії В буде рівна 1 - f Розрахуємо середній прибуток за формулою середньоарифметичної зваженої:

24f + 11,5 ■ (1 - f) = 8 ■ f + 20- (1 - f);

24,5f = 8,5;

f = _885_ = _85_ = 17. 1 _ f =32

24,5    245    49 ;       f = 49 . Дійсно, при стратегії С гравця Р2 середній прибуток підприємства складе:

17    _ г 32    408 +368

24----- Ы 1,5--- =----------- =15,8 млн. грн.

49            49 49

При стратегії D гравця Р2 середній прибуток підприємства складе:

17          32    136 + 640

8---- + 20---- =----------- = 15,8 млн. грн.

49          49 49

Значить,  гравець Рі,  використовуючи чисті  стратегії А  і В у

співвідношенні  17:32,  буде  мати оптимальну  змішану  стратегію, що

забезпечить йому в будь-якому випадку середній прибуток у сумі 15,8 млн.

грн. Нарешті, визначимо кількість бочкового і пляшкового пива, які повинен

виготовляти завод для оптимізації свого прибутку:

17

(4 млн. дкл бочк. + 2 млн. дкл пляшк.) 49  + (2 млн. дкл бочк. + 32 1

+ 3 млн. дкл пляшк.) 49 = 49 [17(4 млн. дкл бочк. + 2 млн. дкл пляшк.) +

 

+ 32 (2 млн. дкл бочк. + 3 млн. дкл пляшк.)] = 49 [68 млн. дкл бочк. + + 34 млн. дкл пляшк. +   64 млн. дкл бочк. + 96 млн. дкл пляшк.] =132 +130 млн. дкл пляшк.

=                                               =   2,69 млн. дкл бочк. + 2,65 млн. дкл

49

пляшк.

Отже, оптимальна стратегія заводу означає випуск 2,69 млн. дкл бочкового пива і 2,65 млн. дкл пляшкового. Тоді при будь-якій погоді він отримає середній прибуток у сумі 15,8 млн. грн.

Завданням теорії масового обслуговування є аналіз та дослідження явищ і процесів, що виникають у системах масового обслуговування (СМО). Одним з головних завдань теорії є визначення таких характерних ознак системи, які забезпечують задану якість її ефективного функціонування, мінімальний час очікування, мінімальну середню довжину черги тощо.

Довільна СМО складається із вхідного потоку, черги, апаратів (каналів) обслуговування та вихідного потоку. Наприклад, надходження заявок на ремонт устаткування - вхідний потік; очікування ремонту - черга; ремонтні бригади - апарати обслуговування; відремонтоване устаткування - вихідний потік.

Економічна ефективність СМО буде залежати від вхідного потоку, кількості каналів обслуговування та організації системи обслуговування. Так, будівельна організація в своєму розпорядженні має 5 екскаваторів та 15 автомашин для транспортування землі. У даному випадку маємо декілька варіантів вивезення землі із будівельних об'єктів. Можна всі екскаватори зосередити на одному об'єкті, тоді ефективно будуть використовуватися транспортні засоби, але буде втрачатися час на переїзд екскаваторів від одного об'єкта до іншого. Якщо наявний парк екскаваторів рівномірно розподілити між будівельними об'єктами, тоді екскаватори будуть простоювати в очікуванні транспортних засобів. Отже, в кожному окремому випадку необхідно вибирати ту або іншу форму організації обслуговування.

Дуже часто як критерій ефективності використовується мінімізація витрат пов'язаних з очікуванням вимог у черзі та простою каналів обслугову­вання.

Припустимо, що в систему входить 5 каналів обслуговування. Позначимо: М1 - середнє число вимог у черзі; М2 - середнє число вільних каналів обслуговування; С1 вартість очікування однієї вимоги за одиницю часу; С2 - вартість простою одного апарата за одиницю часу. Враховуючи введені позначення, повна вартість витрат, пов'язаних з очікуванням та простоєм за інтервал часу Т, буде мати вигляд:

F(S) = (C1M1 + C2M2) T- min.

Довільна СМО має свою відповідну організаційну структуру. За своєю структурою вона може бути одно- або багатоканальною. Наприклад, у цеху певний вид устаткування обслуговує одна бригада - система одноканальна; те ж саме, тільки три бригади - система багатоканальна.Іншою класифікаційною ознакою є час перебування вимог у системі до початку обслуговування. На основі даної ознаки всі системи можна поділити на три групи: системи з необмеженим часом очікування, системи з відмовою (втратами) та системи змішаного типу.

У системі з відмовою будь-яка вимога, заставши всі канали зайнятими, покидає її. У системах з необмеженим часом очікування вимога, заставши всі канали зайнятими, вимушена очікувати черги до тих пір, поки один з них не звільниться. Системи змішаного типу характеризуються тим, що вимоги, які надійшли, знаходяться в черзі обмежений час, після чого, не дочекавшись обслуговування, залишають систему.

Отже, тип задачі масового обслуговування визначається за такими ознаками:

1) характеристикою вхідного потоку;

2) часом обслуговування вимог;

3) числом каналів обслуговування;

4) порядком утворення черги вимог та обслуговування;

5) характеристикою вихідного потоку.

Відомо, що процес надходження вимог носить випадковий характер, і його математична модель є функцією x(t), яка дорівнює числу вимог, що надходять у систему за проміжок часу (0, t). На практиці дуже часто використовують простий потік вимог, який має такі властивості: стаціонарність, відсутність наслідків та ординарність.

Властивість стаціонарності полягає в тому, що ймовірність надход­ження будь-якої кількості вимог протягом певного часу не залежить від початку відліку часу, а тільки від довжини цього проміжку. Отже, ймовірність появи k вимог протягом проміжку часу від t0 до t0 + t не залежить від t0 і є функцією тільки параметрів k i t.

Властивість відсутності наслідків полягає в тому, що ймовірність надходження к вимог протягом проміжку часу t0, t0+t не залежить від того, скільки було вимог і як вони поступали до цього проміжку. Ординарність потоку вимог виражається умовою практичної неможливості появи двох або декількох вимог в один і той самий момент.

Порівнюючи властивості простого потоку із властивостями розподілу Пуассона, можна переконатися в їх ідентичності. Тому математично простий потік можна представити як Пуассонівський розподіл.

Pk(t) = e-— , k = 1, 2, m; k k!

де: X - інтенсивність потоку, тобто середнє число вимог за одиницю

часу;

Pk(t) - імовірність надходження к вимог за проміжок часу (0, t).У системі управління виробництвом, як правило, необхідно вміти кількісно оцінити ефективність функціонування діючої системи обслуговування з очікуванням. Для цього необхідно розрахувати середні значення параметрів:

1) кількість вимог у черзі та системі;

2) час очікування вимог у черзі;

3) число незайнятих каналів обслуговування;

4) коефіцієнти простою в черзі та системі;

5) коефіцієнти простою каналів обслуговування.

Розглянемо систему, яка складається з S каналів обслуговування. Кожен з каналів може одночасно обслужити тільки одну вимогу. В систему поступає обмежений потік вимог (не більше m вимог) з інтенсивністю X. Вимога, яка надійшла в систему і застала хоча б один канал вільним, відразу надходить на обслуговування. Якщо всі канали зайняті, вимога ставиться в чергу і обслуговується тільки після того, коли будуть задоволені всі вимоги, що надійшли раніше. Середня кількість вимог, що обслуговуються одним каналом за одиницю часу, становить //. Отже, інтенсивність обслуговування буде:

р = X//.

Час обслуговування розподіляється за показниковим законом.

У даному випадку кількість вимог у системі обмежена величиною m і, як наслідок, система може знаходитись у довільний момент часу в одному із m + 1 станів.

Розглянемо розрахунок кількісних оцінок у випадку одноканальної системи обслуговування з обмеженою кількістю вимог.

1. Ймовірність того, що в системі знаходиться k вимог:

Pk = (m - k + 1) -p-Pk-1, 1< k<m.

2. Ймовірність того, що в системі немає жодної вимоги:

P0 =            

1 + g, m!pk

k=1 (m - k)!

3. Математичне сподівання кількості вимог у черзі (середня довжина черги):

m

Mr =  Ylk - s)Pk .

k =s +1

Математичне сподівання кількості вимог у черзі та на обслуговуванні (в системі):k =1

5. Математичне сподівання простою каналів обслуговування:

Ms = i(s - k)Pk .

k =0

6. Середній час очікування вимог у черзі:

-   =      Mr       = Mr

—(m -Mc)   m(s -Ms) '

7. Коефіцієнт простою вимог у черзі:

Lr = Mr / m.

8. Коефіцієнт простою вимог у системі:

Lc = Mc / k.

9. Коефіцієнт простою каналів обслуговування:

Ls = Ms / s.

Перейдемо до розрахунку параметрів багатоканальної системи з обмеженою кількістю вимог обслуговування. Порівняно з одноканальною системою виняток складають тільки розрахунки Pk і Ро. Ці величини розраховуються відповідно до формул:

Pk = ak Ро.m - k

k

m - k

s


pcik-1, при 1 < k < s, pcik-1, при s < k < m,причому а0 = 1;

^ 1

1 +I>k .

k=1

Інші параметри оцінюються за наведеними вище формулами.

Приклад. У цеху 7 однотипних устаткувань, які працюють незалежно одне від одного. Неполадки, які виникають в устаткуванні, носять випадковий характер і розподіляються за законом Пуассона. Протягом однієї години в середньому виходить з ладу 2 одиниці устаткування. Ці неполадки ліквідовуються одним механіком, який може обслужити протягом однієї години 8 вимог.

Необхідно розрахувати: коефіцієнти простою вимог у черзі та системі, коефіцієнт простою механіка та середній час очікування вимог у черзі.Розв'язання. Відповідно до наведених позначень та умови задач, маємо: S = 1; X = 2; u = 8; m = 7.

Знайдемо інтенсивність обслуговування: р = X/ji = 2/8 = 0,25. Знайдемо Ро :

m

P =               1 1

k =1(m - k)!               k1=1(7 -k)!

1

m\pk       =       7 7!0,25k

1——— 1

 

= 0,063

1 + 7!

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75 


Похожие статьи

В М Серединська, О М Загородна, Р В Федорович - Економічний аналіз