В М Серединська, О М Загородна, Р В Федорович - Економічний аналіз - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75 

Наприклад, у підприємства є дві можливості використання вільних грошових засобів: придбати агрегат для виробництва макаронів (проект А) або для виробництва морозива (проект Б). Якою із можливостей скористатися?

Критерієм оптимальності управлінського рішення при виборі однієї з двох можливостей є отримання максимально можливого доходу при найменшому ризику. Вихідні дані умовного прикладу відобразимо в таблиці

1.17.

Таблиця 1.17

Оцінка інвестиційних проектів за критерієм прогнозованого доходу


Оцінка

Прогнозована

Значення ймовірностей (f )

можливого

величина доходу, тис.

отриманого доходу, виходячи

доходу

грн. ( Х )

з суб'єктивних оцінок

Проект А

 

 

Песимістична

110

0,2

Стримана

366

0,6

Оптимістична

550

0,2

Проект Б

 

 

Песимістична

88

0,25

Стримана

330

0,5

Оптимістична

660

0,25

Чим вищим буде значення середньоквадратичного відхилення, коефіцієнта варіації, тим більшим буде відхилення можливого доходу від його сподіваної середньої величини, тим ризикованішим буде інвестиційний проект.

Розрахуємо середню величину доходу по проектах А і Б за формулою середньоарифметичної зваженої:

-                110 • 0,2 + 366 • 0,6 + 550 • 0,2

XA =------------- 1------------- = 352 тис. грн.;

-                88 • 0,25 +330 • 0,5 + 660 • 0,25 „м

=--------------- 1-------------- = 352 тис. грн.

Звертає увагу на себе те, що середні величини сподіваного доходу по проектах А і Б однакові і складають 352 тис. грн. Проте відхилення або межі, в яких коливаються величини прогнозованих доходів, від їх середньої прогнозованої величини різне. Дохід проекту А коливається від 110 до 550, отже, розмах варіації 440 тис. грн., дохід по проекту Б коливається в межах від 88 до 660 - розмах варіації 572 тис. грн. Це означає, що ризик проекту А менший, бо він має менше відхилення від середньої величини прогнозованого доходу, ніж проект Б.


Цей висновок робимо, порівнюючи середньоквадратичні відхилення s і коефіцієнт варіації V, розраховані по проектах А і Б за формулами:
3.6. Характер господарських ситуацій, які передбачають використання математичного програмування, теорій ігор та теорій масового обслуговування

Одним із найбільш ефективних, фундаментально досліджених і експериментально перевірених на практиці економіко-математичних моделей є клас оптимізаційних задач з лінійною формулою взаємозв'язків, математичним апаратом якого є лінійне програмування.

До основних вимог, які слід враховувати при застосуванні методів лінійного програмування, належать такі: будь-яка задача повинна бути представлена в математичній формулі з допомогою системи нерівностей або рівнянь; будь-який одержаний розв'язок не повинен вступати в протиріччя з економічним змістом задачі; система лінійних рівнянь повинна бути визначеною; для знаходження оптимального розв'язку системи необхідно сформулювати критерій оптимальності і визначити його у формі цільової функції, яка в процесі розв'язку одержить екстремальне значення.

Розглянемо модель оптимізації виробничої програми підприємства, зміст якої полягає в наступному. Для організації виробництва деяких видів продукції підприємство має в наявності ряд виробничих ресурсів, по яких задано обсяги і норми їх використання на одиницю продукції.

Відомий розмір попиту на окремі види продукції, а також ефективність їх виробництва (ціна або прибуток за одиницю продукції, собівартість одиниці продукції). Необхідно визначити: оптимальну виробничу програму підприємства по випуску різних видів продукції на основі наявних ресурсів.

Для побудови економіко-математичної моделі задачі введемо такі позначення: і - індекс виду ресурсу, і = 1, 2, n; j - індекс виду продукції, j = 1, 2, m; atj - норма використання і-го виду ресурсу на одиницю j-го виду продукції; Аі - обсяг запасів і-го виду ресурсу; Ej - величина договірних поставок j-го виду продукції; Q - ефективність (ціна або прибуток) ви­робництва одиниці продукції j-го виду; - обсяг виробництва j-го виду продукції; J - множина видів продукції. Враховуючи введені позначення, математична модель набуде виду.Знайти розв'язок (xj > 0, j = 1,    m}, який забезпечить

m

Z     X cjxj        ^ max

j =1

при умовах:

1) по використанню наявних ресурсів:

m

X aj xj £ Ai, і = 1, 2, n; j =1

2) по виконанню договірних поставок

xj > Bj, j є J.

Для одержання числових розв'язків задач лінійного програмування можна використовувати існуючі пакети прикладних програм.

Методи динамічного програмування застосовуються в розв'язку оптимізаційних задач, в яких цільова функція або обмеження, чи перше і друге одночасно характеризуються нелінійними залежностями. Ознаками нелінійності є наявність змінних у степені, під коренем, під знаком логарифма.

У практичній діяльності нерідко доводиться приймати рішення в конфліктних ситуаціях. Це пов'язано з практичною важливістю, яку відіграють конфлікти в житті і розвитку суспільства і з специфічною складністю конфлікту як явища, в якому доводиться приймати рішення. Справа в тому, що в умовах конфлікту особі, що приймає рішення необхідно рахуватись не тільки із власними цілями, а також з цілями, що ставить перед собою інша особа. Необхідно враховувати також, крім об'єктивних, відомих йому причин конфлікту, ще й ті рішення, які може прийняти партнер, і які, взагалі кажучи, йому не відомі. Звідси випливає, що математичні моделі, які враховують конфлікти, є складними і специфічними.

Теорія ігор є теорією математичних моделей, в яких учасники мають різні інтереси, і для досягнення своїх цілей користуються різними шляхами. Основними поняттями теорії ігор є поняття конфлікту, кроку, стратегії. Конфліктом називають всяке явище, про яке доцільно з'ясувати: хто і як бере в ньому участь, які можливі його наслідки, хто є зацікавленим у тих наслідках, у чому ця зацікавленість проявляється і т.п. Всі ці дані повинні бути записані у вигляді найпростіших математичних співвідношень. Учасники, які беруть участь у конфлікті, будуть називатися гравцями. В грі можуть переплітатися інтереси двох чи більше гравців. У першому випадку гра називається парною, в другому - множинною. Під грою розуміють таку послідовність дій (ходів) гравців (їх, як правило, позначають терами А, B, С...), яка здійснюється у відповідності до чітко сформульованих правил, які враховують всі можливі ситуації, що можуть трапитись. Вважають, що інтереси гравців піддаються кількісному опису, тобто задаються певнимичислами. Ходом гравця називають вибір однієї з можливих, згідно правил гри, дії та її здійснення. Стратегією гравця називають план, що показує, який вибір він буде здійснювати в будь-якій можливій ситуації і при будь-якій можливій фактичній інформації.

Завданням теорії ігор є розробка рекомендацій гравцям, тобто визначення для них оптимальних стратегій. Під оптимальною стратегією розуміють таку стратегію, яка при багатократному повторенні забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш. Очевидно, для кожної гри може бути своє поняття оптимальності. Для одного класу гри одні принципи оптимальності, для другого - зовсім інші, причому, можливо, навіть протилежні.

Конкретні класи теорії ігор одержують, накладаючи на компоненти гри різні обмеження. В залежності від цілей гри і її характеру допускається така умовна класифікація:

У          за кількістю гравців, які беруть участь у грі:

а) гра двох осіб;

б) гра трьох осіб і т.д.;

У          за кількістю стратегій:

а) задачі із скінченою кількістю стратегій;

б) задачі з нескінченною кількістю стратегій;

У          за властивостями цільової функції гри:

а) ігри з нульовою сумою;

б) ігри з ненульовою сумою;

У       за попередньою домовленістю відносно можливих дій:

а) кооперативні (з деякими домовленостями);

б) некооперативні (без будь-яких домовленостей) і т.д.

Розглянемо гру, в якій приймає участь два гравці, один з яких може вибрати стратегію і із n своїх можливих стратегій = 1, 2, ..., n), а другий, не знаючи вибору першого, вибирає стратегію із своїх можливих стратегій (j = 1, 2, m). В результаті, перший гравець (А) виграє щ, а другий (В) програє цю величину.

Величини a j утворюють платіжну матрицю (матрицю гри):A


Bi at

Bmi[aj] :


A


a2


a22


iA


an


ann


iРядки матриці [a,j] відповідають стратегіям (Ai, A2, An) гравця A, а стовпці - стратегіям (Bt, B2, Bm) - B. Дані стратегії називаються чистими. Будемо вважати, що при av > 0 гравець А виграє, а гравець В програє величину a j. Якщо a j < 0, то, навпаки, виграє гравець В і програє гравець А.

Спочатку знайдемо найкращу із стратегій гравця А, тобто найкращу серед Аі, А2, ..., Ап, з врахуванням можливих відповідей на неї гравця В. При цьому ми повинні розраховувати на те, що на довільну стратегію Аі гравець В відповість стратегією Bj, для якої виграш гравця А виявиться мінімальним. Для знаходження стратегії Bj необхідно в і-му рядку платіжної матриці знайти бі = min aj. При зміні стратегій гравця А одночасно будуть мінятись відповідні їм числа бі. Зрозуміло, що гравцеві А вигідно завжди зупинитися на такій стратегії Аі, для якої значення б = max бі, або, враховуючи значення б, одержимо б = max min aj.

Число б називається нижньою ціною гри або MaKcuMmoM, а відповідна його стратегія (рядок) - мaкcuмінoю.

Якщо гравець А буде дотримуватись максиміної стратегії, то йому, при довільній поведінці гравця В, в будь-якому випадку гарантований виграш не менший б.

Аналогічно можна визначити найкращу стратегію для гравця В, мета якого привести виграш гравця А до мінімуму. Для цього гравець В прагне для кожної своєї стратегії Bj одержати максимальне значення виграшу при довільній стратегії гравця, тобто він шукає значення Gj = max a,j.

Проте гравець В не може розраховувати на те, що гравець А дозволить йому одержати будь-який з виграшів bj. Єдине, на що може розраховувати гравець В, то це на те, щоб одержати виграш, який буде не меншим за величину b = min max aij. Величина b називається верхньою ціною гри або мінімаксом, а відповідна йому стратегія гравця (стовпець) - мінімaкcнoю. Мінімаксна стратегія є найбільш обережною стратегією для гравця В, яка забезпечує йому в будь-якому випадку програш не більший b і, відповідно, виграш гравцеві А, так само не більший b. Якщо б = b = v, то число v на­зивається ціною гри.

Гра, для якої б = b, тобто мінімаксне значення рівне максиміному називається грою із сідловою точкою. Для гри із сідловою точкою знаходження розв'язку полягає у виборі максиміної і мінімаксної стратегій, які являються оптимальними. «Оптимальність» тут означає, що ні один гравець не прагне змінити свою стратегію, оскільки його суперник може на це відповісти вибором іншої стратегії, яка може дати гірший результат для першого гравця. Взагалі значення гри повинно задовольнити нерівності:

[Мaкcuміне знaчення] < [Знaчення гри] < [Мінімaкcне знaчення]Покажемо застосування теорії ігор у формуванні виробничої програми пивзаводу. Для прикладу візьмемо такі умовні дані: витрати пивзаводу на один декалітр бочкового пива складають 4 грн., пляшкового - 4,5 грн. Ціна реалізації бочкового пива 8 грн., пляшкового - 8,5 грн. За даними спостережень за минулі роки, завод може реалізувати упродовж літніх місяців в умовах теплої погоди 4 млн. дкл бочкового пива і 2 млн. дкл пляшкового, а при холодній погоді - 2 млн. дкл бочкового і 3 млн. дкл пляшкового. Необхідно сформувати виробничу програму підприємства так, щоб воно завжди отримувало середній прибуток, незважаючи на погодні умови.

Пивзавод у цій ситуації може використовувати дві стратегії: стратегія А - в розрахунку на теплу погоду; стратегія В - в розрахунку на холодну погоду. Природа теж може вибирати дві стратегії: С - стратегія теплого літа; D - прохолодного.

Якщо пивзавод прийме стратегію А, то пиво, що відповідає теплій погоді (стратегія природи С), буде повністю реалізоване, прибуток заводу складе: 4 млн. дкл ■ (8 - 4) + 2 млн. дкл ■ (8,5 - 4,5) = 24 млн. грн.

Якщо завод буде здійснювати свою стратегію А в умовах прохолодної погоди (стратегія природи D), то пляшкове пиво буде реалізоване повністю, а бочкове - лише у кількості 2 млн. дкл. Прибуток у цій ситуації складе:

2 млн. дкл ■ (8 - 4) + 2 млн. дкл ■ (8,5 - 4,5) - 2 ■ 4,0 = 8 млн. грн.

Аналогічно визначаємо прибуток заводу у випадку використання ним стратегії В. Тобто, завод візьме стратегію на холодну погоду, а погода виявиться теплою. В цьому випадку бочкове пиво буде реалізоване повністю, а пляшкове в кількості 2 млн. дкл. Прибуток підприємства в цьому випадку складе: 2 ■ (8 - 4) + 2 ■ (8,5 - 4,5) - (3 - 2) ■ 4,5 = 11,5 млн. грн.

Використання цієї ж стратегії в умовах холодної погоди приведе до інших результатів: 2 ■ (8 - 4) + 3 ■ (8,5 - 4,5) = 20 млн. грн.

Із платіжної матриці видно, що гравець Р1 (підприємство) ніколи не отримає прибуток, менший 8 млн. грн. Якщо погодні умови співпадуть з


Розглядаючи завод (Рі) і природу 2) як двох гравців, отримаємо так звану платіжну матрицю вигляду:вибраною стратегією, то прибуток підприємства буде складати 24 або 20 млн. грн. Якщо гравець Рі буде постійно використовувати стратегію А, а гравець Р2 - стратегію D, то виграш знизиться до 8 млн. грн. Невисоким буде прибуток, якщо гравець Р1 буде постійно використовувати стратегію В, а гравець Р2 - стратегію С. Звідси висновок, що найбільший прибуток підприємство забезпечить собі тоді, коли буде поперемінно використовувати то стратегію А, то стратегію В. Така стратегія називається змішаною, а її елементи А і В - чистими стратегіями.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75 


Похожие статьи

В М Серединська, О М Загородна, Р В Федорович - Економічний аналіз