О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 15

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

де L довжина резонатора; c швидкість світла в речовині; ri ,2 коєфіцієнти відбиття першого та другого дзеркал відповідно; Pdifr відносні внутрішні втрати за рахунок дифракції при про­ходженні хвилі резонатора. Якщо взяти відстань між дзеркала­ми резонатора L « 1м, то можна встановити, що час проходже­ння хвилі резонатора (t = ^) набагато менший, ніж час життя фотона тс.

Із добротністю коливання час життя фотона в резонаторі (5.15) пов'язаний співвідношенням

 

Q = 2nvoTc (5.16)

де v0 центральна частота моди. Враховуючи той факт, що на­півширина спектра потужності випромінювання Avc = 2^, то в результаті отримаємо

 

 

 

Таким чином, відкритий резонатор це система, яка скла­дається із декількох поверхонь, що повністю або частково від­бивають хвилю, і яка має резонансні властивості.

Відкриті резонатори можна поділити на кільцеві, лінійні та зв'язані. Кільцеві резонатори складаються із трьох та більше дзеркал або елементів, які змінюють напрям поширення хвилі, утворюючи тим самим замкнений контур. На рис. 5.3 наведені схеми кільцевих резонаторів.

Лінійні резонатори складаються із двох дзеркал, між якими концентрується енергія електромагнітних хвиль. Вони є найпо­ширенішими в техніці квантової електроніки. Схеми деяких ти­пів лінійних резонаторів наведені на рис. 5.4.
Зв'язані резонатори це резонансні коливні системи що складаються із декількох окремих резонаторів, пов'язаних між собою за допомогою системи зв'язку. Нею можуть бути, напри­клад, дифракційні решітки або напівпрозоре дзеркало. Зв'язані резонатори можуть бути як лінійної, так і нелінійної конфігу­рації. Приклад основних схем таких резонаторів наведений на рис. 5.5.

Також можна відмітити окремим типом резонатори із роз­поділеним зворотним зв'язком. Це особливий вид резонансних систем, у яких взагалі відсутні торцеві дзеркала, а позитив­ний зворотний зв'язок забезпечується розсіюванням на періо­дичних неоднорідностях або на періодичній решітці [22]. Ця ре­шітка повинна утворюватися просторово-періодичною зміною показника заломлення, товщини плівки чи кристала, або навіть показника підсилення. Відстань між неоднорідністями має за­довольняти умову Вульфа-Брегга: b sin(e) = , де b період дифракційної решітки; в кут між нормаллю до площини ре­шітки та оптичною віссю резонатора; m = 1, 2, 3 ... порядок дифракції; Л довжина хвилі в активному шарі (елементі). В цьому випадку виникає бреггівське відбиття хвилевідної моди на решітці по всій її довжині одночасно, що й утворює зворо-
Рисунок 5.4 Основні типи лінійних відкритих резонаторів: а) резонатор із плоскими дзеркалами; б) резонатор зі сферичними дзеркалами; в) несиметричний резонатор із увігнутими сферичними дзеркалами; г) телескопічний резонатор; д) симетричний із опуклими дзеркаламив)

 

Рисунок 5.5 —Схеми зв'язаних резонаторів: а) дворезонаторна схема; б) трирезонаторна схема зі зв'язком через напівпрозоре дзеркало; в) дворезонаторна схема зі зв'язком через дифракційну решітку

 

 

 

 

тний зв'язок.

Ще однією класифікацією відкритих резонаторів, яку потрі­бно згадати, є розподіл на активні та пасивні. Якщо в резонаторі відсутня активна речовина (відсутні в ній підсилення, дисипа­тивні втрати і т. д.), то такий резонатор є пасивним, або поро­жнім. Розрахунок та електродинамічний аналіз таких резона­торів є більш простими, ніж активних. I навпаки, коли в об'ємі наявна активна речовина — такий резонатор має назву актив­ного.

Розглянемо основні типи пасивних лінійних відкритих резо­наторів, які відносно часто використовуються у квантових при­ладах. Найпростішим за конструкцією є резонатор із плоскими дзеркалами, що розташовані паралельно одне одному. Спроще­на схема цього резонатора наведена на рис. 5.6.
5.3.   Резонатор із плоскими дзеркалами

 

Резонатор із плоскими дзеркалами можна розглядати як об'ємний прямокутний резонатор, у якого були видалені бокові стінки. Вісь OOx має назву оптичної осі резонатора. Електрома­гнітні хвилі, що відбиваються від дзеркала, інтерферують між собою. Ті хвилі, для яких виконується умова L = qA/2, утво­рюють стоячі хвилі. Хвилі, що поширюються під деяким кутом до оптичної осі, після деяких відбиттів послаблюються за ра­хунок дифракційних втрат. Ці втрати тим більші, чим більший кут. Саме дифракційні втрати істотно зменшують кількість мод в оптичному резонаторі.

Теоретичні дослідження поля в резонаторі показали, що йо­го можна подати у вигляді поздовжньої та поперечної структури і розкласти в ряд за деякою системою функцій хвильових рів­нянь. Вони мають індекси m, n, q, пов'язані із відповідною си­стемою координат [17]. Кожний доданок цього ряду відповідає типу коливань - моді TEMm,n ,q (transverse electromagnetic). Розрізняють поздовжні, або основні, моди з індексами 0,0,q (TEM0,0 ,q) та поперечні моди TEMm,n. Для малих значень m
Рисунок 5.7 Якісний розподіл амплітуд поля на поверхні дзеркала для деяких типів коливань низького порядку

 

 

 

i n типи коливань, що утворені хвилями, які поширюються під малими кутами в, дифракційні втрати малі. Поле цих типів ко­ливань швидко спадає на краях дзеркал резонатора. Для біль­ших значень індексів m,n > 7, дифракційні втрати різко зро­стають.

Узагалі можна визначити, що m, n відповідають кількості зміни напрямку поля на поверхні дзеркал. Або іншими слова­ми кількості нулів поля всередині загальної плями поля на поверхні дзеркала, виключаючи нулі поля на краях плями. Для дзеркал квадратної конфігурації m, n відповідають зміні поля уздовж x і y в декартовій системі координат. Для дзеркал із кру­глою конфігурацією m, n відповідають зміні поля за радіусом та азимутом відповідно.

Як приклад на рис. 5.7 якісно наведено просторовий розпо­діл амплітуд поля на поверхні дзеркала для деяких типів коли­вань низького порядку відповідно до [22].Умова існування аксіальних модзаписується увигляді

L = qA      A = -. (5.18) 2 q

Власна частота поздовжніх мод визначається за формулою

vq = c/A = Ц. (5.19)

Використовуючи (5.19), можна визначити відстань між сусідні­ми поздовжніми модами:

c

 

Формули (5.19), (5.20) записані для порожнього резонато­ра, за наявності в ньому середовища, яке повністю заповнює резонатор, із показниками заломлення nc формула (5.19), на­приклад, перепишеться так:

 

Vq = 2nqL. (5.21)

Якщо плоскі хвилі поширюються піддеяким кутом до осі ре­зонатора, то утворяться поперечні моди Власні частоти таких коливань (мод) у порожньому резонаторі мають задовольняти умову

v =   rCq . (5.22)
2L cos в                                             к '

Якщо дзеркала є нескінченно протяжними, то в може набути будь-яке дискретне значення. Кутова різниця між сусідніми по­перечними модами, за умови, що m, n q, визначаються в [17] як

двт =   (vmn -vm). (5.23)

Для визначення властивостей резонатора із плоскими дзер­калами користуються багатьма способами. Першою та найпро­стішою є наближена теорія Шувалова і Таунса, яка базуєтьсяна розгляді відкритого плоского резонатора як модифікації об'­ємного прямокутного резонатора. У випадку квадратної фор­ми дзеркал зі стороною 2а резонансні частоти визначаються як[19]:

 

 

Ураховуючи те, що дифракційні втрати є неістотними для мод із малими індексами m та n (m, n q), то видалення бо­кових поверхонь резонатора не внесе істотних змін у структу­ру цих низьких мод. Тоді після розкладання (5.24) у степеневий ряд можна отримати спрощений вираз для власних частот та­кого резонатора із дзеркалами квадратної форми:

 

( q     1 n2 + m2 L \ ^о^ч

v = /™cc2( L + 2^- ^ (5.25)

Із (5.24) можна визначити частотну відстань між сусідніми поздовжніми та поперечними модами відповідно:

Д., = 2L,   д.т = cL(,n +                                    . (5.26)

Моди, які відповідають умові m + n = const, мають одна­кову частоту і називаються виродженими за частотою. Спектр частот плоского резонатора матиме вигляд як такий, що схема­тично наведений на рис. 5.8.

Більш точна теорія для резонатора із плоскими дзеркалами була отримана А. Фоксом і Т. Лі на той час співробітниками фірми "Bell telephone laboratories" [13].

Суть цієї теорії полягає у знаходженні зв'язку полів на двох дзеркалах таким чином, що поле одного дзеркала є джерелом поля для іншого протилежного. Після багаторазового відбиття розподіл полів на дзеркалах буде залежати не стільки від поча­ткового розподілу поля на першому дзеркалі, а скільки від фор­ми двох дзеркал резонатора. Ці розподіли можуть відрізнятись(0,0,^-1)    (0,0,9) (0,0,9+1)

(1,0,q), (0,1,9) ,(1,1,9) (2,0,9), (0,2,9)

Л


 

 

 

 

 

Vv9

v9+

v9-1              v9 "9+1

Рисунок 5.8 Якісний розподіл спектра частот плоского

резонатора
один від одного на деякий коефіцієнт, що містить у собі інфор­мацію про втрати енергії в системі та про зміну фази поля за один прохід. Якщо дзеркала резонатора є однаковими, то центр резонатора є центром симетрії, знак поля може бути однако­вим (описуватися парними функціями) або різними (непарними функціями).

Для розрахунку електромагнітного поля біля одного із дзер­кал у вигляді інтеграла від поля другого дзеркала використову­валася скалярна частина принципу Гюйгенса у формі Френеля-Кіргофа [18]. За умови достатньо великих, порівняно із довжи­ною хвилі, розмірів дзеркал поле наближається до поперечного та є лінійно поляризованим.

Якщо припустити, що поле U1 визначається інтегралом по поверхні дзеркала, то можна записати інтегральне рівняння функції розподілу по поверхні дзеркала:

Іі = 4- / / І2Є (1 + cos9)dS2, (5.27)

де І2 поле на апертурі 2-го дзеркала, що випромінює; k стала поширення; r відстань від точки на каналі випроміню­вання до точки спостереження (між точками P1 і P2, рис. 5.6); в

кут, що утворюється вектором r і нормаллю до площини дзер­кала.

Після деякої кількості проходжень p поля стають майже стаціонарними до комплексної сталої:

Up =(      v, (5.28)

де v функція розподілу, яка не змінюється після відбиття; 7

комплексна стала, що відображає умови поширення хвилі між відбиттями хвилі. Тому, враховуючи (5.27) та (5.28), можна отримати

v = 7 J J vKdS, K = 4-(1 + cos e)e"ikr. (5.29)Власні функції цього рівняння є модами резонатора, а ln 7 визначає згасання та фазовий зсув хвилі за один прохід (стала поширення моди). В [19] надається фізичне трактування (5.27), виходячи із принципів Гюйгенса, яка вказує, що кожен елемент поверхні дзеркала є джерелом сферичної елементарної хвилі Гюйгенса: U2(P2)dS2^.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка