О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 16

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

Доданок (1 + cos в)/2 є коефіцієнтом нахилу напрямку по­ширення хвилі згідно з теорією Кіргофа (за теорією Френеля він дорівнює cos в). Доданок —і вказує на зсув величиною в п за фазою хвилі при проходженні до іншого дзеркала. Інтеграль­не рівняння (5.29) розв'язується за допомогою методу послі­довних наближень на ПК. Як правило, використовують умо­ву 2а L, що дозволяє спростити cos в до 1, а відмінність r від L можна враховувати тільки у фазовому добутку. Тоді (5.29) спрощується до [22] :

 

v(x, y) =                  J v(x, y)eik(r-L)dS. (5.30)

Власні функції vmn є розв'язком цього рівняння при заданих значеннях 7mn, при цьому

 

ln 7mn = Ann + i(kL), (5.31)

де втп визначає згасання хвилі за один прохід та характеризує добротність резонатора, а amn фазовий зсув доданий до гео­метричного фазового зсуву. Як показано в [19], амплітуда вста­новлюється після 200 300 відбиттів, залежно від відстані до оптичної осі та втрат 7mn для кожної моди. У подальшому Бойд та Гордон поширили теорію Фокса та Лі й інші типи резонато­рів.

У [45] відмічається, що в цій теорії є 2 недоліки. Першим є використання принципу Гюйгенса - Френеля в його стандар­тному формулюванні, що не зв'язує між собою миттєві значе­ння комплексної амплітуди на різних ділянках світлового пу­чка. Другий недолік полягає у тому, що Фокс та Лі для згасаль-них коливань використовували дійснє значення k, що можливо лише для стаціонарного поля. Ці нєдоліки не були істотними, але принципово виключали фазові умови із рівняння. Вони бу­ли враховані у працях Л. А. Вайнштейна, який створив методи аналізу мікрохвильових пристроїв та використав хвилевідну ін­терпретацію для описання відкритих резонаторів [41].

Як уже зазначалося, розподіл поля на дзеркалах та модо-вий склад залежатимуть і від форми дзеркал. Так, у [20] наведе­ний вираз для розрахунку резонансних частот для резонатора з плоскими дзеркалами круглої форми для NF 1:

 

 

 

 

де pm,n n корінь функції Бесселя першого роду порядку m. Взагалі теорія Фокса і Лі дає можливість зробити декілька ви­сновків для резонаторів Фабрі-П'єро [18]:

1.  Відкриті резонатори характеризуються дискретним набо­ром власних мод.

2.  Однорідні плоскі хвилі не є нормальними модами відкри­тих резонаторів.

3.  Електромагнітні хвилі, що відповідають власним модам резонатора, майже є поперечними (TEM).

4.  Чим більший порядок моди, тим більшими дифракційними втратами вона володіє.

5.  Для основної моди амплітуда поля істотно спадає на кра­ях дзеркала, тому вона має найменші дифракційні втрати.

6.  Розподіл поля плоского резонатора в різних перетинах оптичної осі істотно не змінюється. Це дозволяє ефективно ви­користовувати активні середовища.

Плоскі резонатори є дуже чутливими до якості юстування (декілька кутових секунд), що є їх недоліком.5.4.   Резонатори із квадратичною фазовою корекцією по­верхонь дзеркал

 

На сьогодні існує велика різноманітність модифікацій від­критих резонаторів, що відрізняються конфігурацією та взаєм­ним розташуванням дзеркал. У 1956 році П. Д. Коннес у на­ближенні геометричної оптики довів, що інтерферометр зі сфе­ричними дзеркалами, які розташовані зі збіжними центрами ра­діусів кривизни, має більшу роздільну здатність, ніж резонатор із плоскими дзеркалами. Крім того, ця система виявилася менш критичною до роз'юстування. Резонатори такого типу отримали назву конфокальних.

Загалом для резонаторів зі сферичними дзеркалами хара­ктерні відсутність пульсацій в амплітудному розподілі електро­магнітного поля та значно менші втрати на один прохід, ніж у резонаторах із плоскими дзеркалами.

Конфокальний резонатор

На відміну від резонатора з плоскими дзеркалами для кон­фокального інтегральне рівняння (5.29) має аналітичне розв'я-зування[18],[22].

Для сферичних дзеркал зі сторонами 2a за умови, що a L та NF > 1, власні функції v(x) або v(y) апроксимують добу­тком поліномів Ерміта Hm(x) та Hn(y), а гаусівську функцію типу exp x2/r0 [18], [22]. У декартовій системі координат, від­лік якої починається із фокальної точки резонатора, а вісь z збі­гається із його віссю, поперечне розподілення поля задається виразом

 

U(x,y) = Hm (Х) Hn (У) exp (                              ' (5.33)

де w область поперечного перерізу, де інтенсивність поля па­дає в e разів.

У плямі із площиною nw2 концентрована майже вся енергіяхвилі, що проходить у напрямку z через площину xy. Для пер­ших індексів поліномів Ерміта мають вигляд

Ho(x)   =   1; Hi(x) = 2x; H2(x) = 4x2 - 2;

Яз(х)  =  8x3 - 12x; H4(x) = 16x4 - 48x2 + 12. (5.34)

У випадку m = 0, n = 0 маємо гаусівський пучок, або основну моду для вільного простору. Для гаусівського пучка можна записати вираз

U = a exp i(^p + 2^г^  ' (5.35)

де r2 = x2 + y2. Параметр p комплексний фазовий зсув при поширенні пучка уздовж осі z (5.28), а q комплексний пара­метр кривизни пучка, що визначає гаусів розподіл поля в по­перечному напрямку r. Крім того, q визначає кривизну хвиле­вого фронту, який поблизу осі є сферичним. Тому, якщо (5.35) підставити у хвильове рівняння параболічного типу, що описує гаусівські пучки, то отримаємо [17], [47]:

2k(p') + - +(—) (1 - q') = О, (5.36)

qq

де р' = dz і q' = If. Це рівняння еквівалентне двом: q =1 та ^ = - f. Iнтегруючи їх, отримуємо q2 = q1 + z , рівняння що визначає співвідношення між параметрами пучка в різних пе­ретинах на відстані z. Якщо комплексний параметр q (варіанс) виразити у вигляді

11                             . _ „„,

- = + і—' (5.37)

то R буде відповідати радіусу кривизни хвильового фронту, а w визначатимуть зміну поля в поперечній площині. Дійсна части­на комплексного параметра 1/q визначає розходження від гі­перболоїда, а ймовірна концентрацію енергії в пучці. В деякій
площині, що має назву горловини пучка, або перетину, гаусів пучок має мінімальний дiаметр 2w0. Розподіл поля в цій пло­щині, як це зображено на рис. 5.10, підлягає закону Гауса і w дорівнює відстані, на якій амплітуда поля падає в е разів.

Від цієї площини потрібно розпочинати відлік по z, у площи­ні найменшого діаметра фазовий фронт хвилі є плоским, ком­плексний параметр пучка стає імовірним [17], [19], [20]:

 

nw0 /сдо\

qo = -7- ,wo = \ . (5.38)
гл              V 2п

.                                                                      і»2 .

відстані z від горловини q = q0 + z = + z.

Ураховуючи (5.37), можна отримати важливі у практичному

застосуванні вирази:

w2(z)

 

 

R(z)


 

 

 

(5.39)Зміну радіуса хвилевого фронту можна знайти, використо­вуючи рис. 5.11.w0


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

z

 

 

 

z

 

 

Рисунок 5.11 Поздовжня структура гаусівського пучка: Ф фазовий фронт; Г горловина пучка

 

 

Утворююча пучка w(z) є гіперболою, асимптота якої має нахил до осі z під кутом в = , який відповідає куту ди­фракції в дальній зоні. На достатній відстані від резонатора (z » kw0 = L/2) ширині w = відповідає кутове розхо­дження ez = w = W_. Це означає, що основна частина енергії гаусівського пучка зосереджена в тілесному куті П = пв2 = L, а різниця фаз Ф між гаусівським пучком та бездоганно плоскою

хвилею визначається як Ф = arctan ^j [18]. Значення Ф

збільшується зі збільшенням z і зменшенням wo. Максималь­не значення Ф дорівнює п/2.

Розходження пучка основної моди конфокального резона­тора визначається не поперечним, а поздовжнім розміром L ре­зонатора [22]. Поперечний розмір w не залежить від поперечно­го розміру дзеркала 2а, що є наслідком умов малості at 1 та великих значень чисел Френеля.

Поперечному розподілу (5.33) відповідають власні частоти, що визначаються за формулою

 

vm,n,q = ^ = ^ (2q + 1 + m + n). (5.40)

 

Звідси можна побачити, що спектр власних частот конфо­кального резонатора є сильно виродженим: A(m+n) = = 2Aq.Для дифракційних втрат у загальному випадку при NF 1 є дійсним вираз [20]:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка