О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 17

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

 

Pdifr =    ),     *exp-4nNF. (5.41) n!(m + n + 1)!

Якщо розв'язувати хвильове рівняння в циліндричній систе­мі координат r, p, z, то поперечне розподілення поля буде за­даватися добутком g = /2W/j1 i}p ^2та гаусової функції.

В даному випадку Lp узагальнений поліном Лагерра, а p і l відповідно кутовий та радіальний індекси, які визначають, скільки разів поле змінює знак в азимутальному та радіально­му напрямках. Поліноми Лагерра нижніх порядків табульовані:

 

L0(t) = 1; Ll(t) = l + 1 - t; L2(t) = 0.5(1 +      + 2) - (l + 2)t + 0.5t2. (5.42)

 

Як і ерміто-гаусові, так і лагерро-гаусові моди характери­зуються на практиці великим значенням кривизни хвилевого фронту. Тому їх з великою точністю можна віднести до попе­речних електромагнітних хвиль типу TEM. Однак необхідно враховувати, що ці висновки отримані на основі наближеного розв'язування хвилевого рівняння. Ступінь наближення погір­шується зі збільшенням (m + n) або (2p + l). Наближення є неприйнятним, якщо значення (m + n + 1) або (2p + l + 1) ста­ють близькими до значень kz.

Найбільш зручним методом перебудови частоти резонато­ра є зміна координати одного із дзеркал уздовж осі резонатора. Однак це унеможливлює постійне виконання умови збігу фоку­сів. У загальному випадку відкриті резонатори можуть мати не тільки не фокусну відстань між дзеркалами, а й різну їх криви­зну, кут нахилу і т.п.
5.5.   Неконфокальні резонатори, або резонатори із до­вільними сферичними дзеркалами

 

Резонатори із довільними сферичними дзеркалами склада­ються із двох дзеркал Ri та R2, осі яких збігаються. Властиво­сті таких резонаторів можна визначити, якщо знайти відповідну їм конфокальну систему, в яких дві синфазні поверхні збігаю­ться з поверхнею дзеркал резонатора [22]. Тому необхідно, як і у випадку симетричного резонатора, визначити параметри не­симетричного (рис. 5.12).

Для цього необхідно розрахувати еквівалентний конфо­кальний резонатор. Розміри плям поля на дзеркалах розрахо­вують згідно з [31]:ARi


(R2 - L)Lп


(Ri - L)(Ri + R2 - L):^2 =


AR2

(Ri - L)L

п

(R2 - L)(Ri + R2 - L)

A JL(Ri - L)(R2 - L)(Ri + R2 - L)
п V                (Ri + R2 - 2L)2 '


(5.43)Місце перетяжки (горловини) визначається за допомогоювиразів

 

 

(5.44)У несиметричному резонаторі перетяжка може знаходити­ся як усередині, так і назовні резонатора. Вона зміщується від центрального положення у бік дзеркала із меншою кривизною.

Кут розходження випромінювання основної моди можна знайти, користуючись виразом 9i/e2 = yj2\/nLekv, якщо ви­значити еквівалентну довжину еквівалентного конфокального резонатора:

(5.45)Якщо довільному резонатору неможливо знайти конфо­кальний аналог, то в ньому не зможуть збуджуватися стійкі роз­поділи електромагнітних полів, які мають малі втрати. Ышими словами, він буде нестійким. I навпаки, за наявності еквівален­тного конфокального резонатора він буде стійким, що також визначається умовою стійкості резонатора

(5.46)

де #1 і #2 є узагальненими параметрами резонатора. В даному випадку "+" відповідає випуклому, відносно центра резонатора, дзеркалу, а "—" увігнутому.

За допомогою узагальнених параметрів також можна зна­йти розміри плями на дзеркалах [19]:

 

 

 

(5.47)Розрахунок власних частот резонатора виконується за фор­мулою

2L

c \ , arccos(gig2)1/2
= \q + (1 + m + n)----------- JLJL-L


(5.48)ся


Для випадку великої кривизни дзеркал можна користувати-наближенням \Jarccos(g1g2) « \J2L/R, тоді2L


q + (1 + m + n)


v/2L7R


(5.49)Найбільш відомими неконфокальними резонаторами є сфе­ричний (концентричний) та модифжацн нашврезонатс^в: на-півсферичний та напівконфокальний.


Схема концентричного (або сферичного) резонатора пока­зана на рис. 5.13. Він складається із двох сферичних дзеркал, що мають однакові радіуси R, які розміщені на відстані L одне від одного. Центри кривизни дзеркал O1 і O2 збігаються, тому L = 2R. Для концентричного резонатора g1 = g2 = —1; дифра­кційні втрати в ньому швидко зростають зі збільшенням m і n.

У лазерній техніці застосовують резонатори із плоского й сферичного дзеркал: напівконфокальний резонатор (рис. 5.14а) у якого Ri = то, R2 = 2L, gi = 1, g2 = 1/2 i напівконцентри-чний резонатор (рис. 5.14 а), у якого Ri = то, R2 = L, gi = 1,

g2 = 1/2.
У загальному випадку резонатори з одним плоским дзерка­лом, як i розглянуті вище узагальнещ сферичн резонатори, мо­жна дослідити за допомогою наближення геометричної оптики. Так, власщ частоти визначаються [20]:

 

 

vmnq =       ^ + 2П(1 + 2m + n)arccos^1 - RL^j  , (5.50)

радiус перетяжки, що знаходиться на плоскому дзеркал^ ви­значається за формулою

и0 = У Л уl(R - L), (5.51) а на сферичному ввігнутому дзеркалi радiус набуває значення R

и =^- -/R=. (5.52)5.6.   Матричний (параксіальний) метод розрахунку резо­наторів

 

Цей метод уперше був рекомендований Н. Когельником у 1965 році. Відтоді матричний метод широко використовується для розрахунку резонаторів [17]. Необхідно відмітити, що роз­рахунки проводяться в параксіальному наближенні, придатно­му для випадків газових та неодимових лазерів. А саме: допу­скається лише стаціонарний режим лазерів; хвиля випроміню­вання виконує повний обхід від одного дзеркала до іншого й назад без спотворення амплітуди та фази. Активне середовище еквівалентне плоскопаралельній пластині, яка не змінює форми хвильового фронту й не вносить сферичних аберацій.

У результаті розрахунків можна достатньо швидко розра­хувати радіуси кривизни дзеркал та довжину резонатора, діа­метр кювети, розходження випромінювання, коефіцієнти відби­ття дзеркал та розміри гаусівського пучка випромінювання [17], [19], [27], [47]. Розглянемо більш детально цей метод. Площи­на, що розміщена паралельно оптичній z - осі на деякій відста­ні zi від початку координат, називається опорною площиною z = zi. Промінь світла, який перетинає опорну площину z = zi, характеризується двома параметрами: відстанню від оптичної осі y(zi) і тангенсом кута нахилу променя до осі a(zi). У пара­ксіальному наближенні параметр tan a(z) можна розглядати як просто кут a(z). Щоб описати перетворення променя при його поширенні від опорної площини zi до опорної площини z2, не­обхідно вказати правило переходу від параметрів y(zi) , a(zi) до параметрів y(z2) , a(z2).

На рис. 5.15 зображені два променя та дві опорні площини.

Для параксіальних променів зв'язок між їхніми параметра­ми можна задати за допомоги двох лінійних рівнянь:У2 = Ayi + Bai,a2 = Cyi + Dai,


(5.53)
або в матричній формі

 

 

 

 

Матрицю M = (A        називають передавальною матри-

C D

цею перетворення променів, або матрицею передачi ABCD, де ABCD є коефіцієнтами сталими для даної оптичної системи та опорних площин.

Оптичний резонатор, як i будь-яка оптична система, може бути зображений у вигляді сукупності ряду простих оптичних елемента, променеві матриці яких мають такий вигляд:

1. Однорідний простір довжиною d, а у випадку показника заломлення середовища n із плоскими торцевими поверхнями

nM=


(0 З2. Плоска межа розділу середовищ із показниками залом­лення Пі і n2и =(J »)

3. Проходження променя між головними площинами екві­валентної лінзи з фокусною відстанню f (для тонкої лінзи го­ловні площини збігаються з лінзою)

 

 

 

4. Поєднання вільного простору з тонкою лінзою, що розта­шована біля другої опорної площини (приклад 1 і 3),

 

 

 

5. Сферичне непроникне дзеркало радіусом R

1 0

и - , _., 1

 

6. Сферична межа розділу діелектриків

1 0

М        І  П2 _ni      ni j

\ n2R      П2 /

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка