О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 4

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

 

 

s nm                     s mn

Якщо квантова частинка здійснює перехід зі збудженого стану n у результаті спонтанного, індукованого та безвипромі-нювального переходів, що характеризуються часом життя ті =

1/Amn, Т2 = 1/ (BmnP(oj)), Т3 = 1/Smn і не є статистично не­залежними процесами, то відповідно до теореми про додавання ймовірностей середній час життя частинки в стані n пов'язаний із часами життя інших процесів таким співвідношенням:

і = і + 1 + і (2.19)

Tn       т1       т2 т3

Крім цього, ймовірності спонтанного та вимушеного перехо­дів пов'язані між собою. Співвідношення між ними можна ви­значити за допомогою термодинамічного підходу [17], [15], [22].

 

2.1.2.   Умови термодинамічної рівноваги

Розглянемо ансамбль квантових частинок, що знаходяться у термостаті при температурі T. Знайдемо умови рівноваги цьо­го ансамблю в полі його власного випромінювання, що випу-зо

 

скаеться та поглинається при переході між рівнями енергії ча­стинок, що створюють ансамбль. За умов термодинамiчної рів­новаги ансамбль частинок не втрачає і не отримує енергію. От­же, за одиницю часу у всьому ансамблі загальна кількість пере­ходів із верхнього стану до нижнього має дорівнювати загаль­ній кількості переходів із нижнього стану до верхнього. Загаль­не число переходів визначається кількістю частинок на рівнях енергії або, як прийнято говорити у квантовій електроніці, за­селеністю рівнів.

Для теплової рівноваги розподіл частинок за рівнями визна­чається формулою Больцмана [17], [15], [19], [22], [31], [33]:

 

n2       n1   / Е2-ЕЛ

— = — exp--------- ——    , (2.20)

92     9і       V      kT J

де g1 і g2 статистична вага рівнів 1 і 2 відповідно; k стала Больцмана (k = 1, 38 1(Г23 Дж/К).

Частинки розглянутого ансамблю перебувають у полі їх власного випромінювання, густина енергії якого в одиничному спектральному інтервалі становить р(ш). Це поле індукує пе­реходи з верхнього стану до нижнього та навпаки. Ймовірності цих переходів пропорційні р(ш):

 

dWind                        dWind dWsp

--- 77       = BnmP(U); - 77----------------       = BmnP(U);             77= Aim- (2.21)

dt                              dt dt

Комбінуючи (2.20) і (2.21), за умови термодинамічної рівно­ваги (загальна кількість квантів, що випускаються системою, дорівнює числу квантів світла, що поглинаються) отримаємо співвідношення між коефіцієнтами Anm, Bnm, Bmn:

 

/   ЕЛ                                              / E2

glBi2p{u) exp і - —) = g2 (B21pM + A21)exp ( - kT

(2.22)У рівнянні (2.22) кількості переходів знизу нагору (ліворуч) та згори донизу (праворуч) дорівнюють одна одній. Це співвідно­шення дозволяє чітко знайти густину енергії поля випроміню­вання розглянутої рівноважної квантової системи:

 

p(w)_ 527 Lg2B27ex4-1 (2.23)

Звідси випливають важливі висновки [17], [15], [19], [22], [31].

Ейнштейн постулював, що випромінювання, яке випускає­ться та поглинається внаслідок переходів між енергетичними станами розглянутої рівноважної квантової системи, описує­ться формулою Планка для рівноважного випромінювання аб­солютно чорного тіла [17]:

 

/    ч  W2             hid                              . _  _ .

p(w) =    • expisy^i  (2.24)

Iнодi формулу Планка записують не для p(w), а для p(v). По­рівнюючи (2.23) та (2.24) з урахуванням умови Бора

Е2 - Ei = hw, (2.25)

отримаємо співвідношення

giBi2 = g2B2i • (2.26)

Це співвідношення свідчить про однакову ймовірність індуко­ваного випромінювання і поглинання (у перерахуванні на один невироджений стан).

!мовірність спонтанного випромінювання пропорційна кое­фіцієнту Ейнштейна для індукованого випромінювання:

 

A         ltwnm p                                   (2 27)

7T2CdПри цьому ймовірності індукованих переходів із випромінюва­нням (n m) і поглинанням (m n) енергії однакові між со­бою, тобто Bnm _ Bmn. Коефіцієнт иПт/(п2c3) відповідає числу типів коливань в одиничному об'ємі та в одиничному інтервалі частот для вільного простору. Таким чином, можна встановити зв'язок між коефіцієнтами Ейнштейна, але не саме їх значення.

У результаті ймовірність переходу донизу для збудженої ча­стинки з випусканням квантів випромінювання визначається співвідношенням

 

 

 

Суттєвим є той факт, що Anm пропорційний B2i; там, де ви­мушені переходи заборонені, не може бути і спонтанного ви­промінювання, і навпаки, де немає спонтанного випромінюван­ня, там не може бути вимушеного.

Рівноважне випромінювання всього ансамблю частинок щодо кожної окремої частинки виступає як зовнішнє електро­магнітне поле, що стимулює поглинання або випромінюван­ня енергії частинки залежно від її стану. Тому співвідношення (2.27)—(2.28), отримані за умов рівноваги, правильні й у випад­ку квантової системи, що перебуває в полі зовнішнього випро­мінювання.

Крім цього, із (2.27) випливає, що ймовірність спонтанних переходів сильно залежить від частоти (ос с^3,). Звідси маємо, що в області надвисоких частот (НВЧ), яка характерна для па­рамагнітних мазерів, роль спонтанних переходів незначна і, як наслідок, рівень шумів для відповідних підсилювачів буде дуже низьким. В оптичному діапазоні частот роль спонтанних пере­ходів різко зростає. Вони є джерелом шумів та причиною дуже малих часів життя збуджених станів, що ускладнює, а іноді уне­можливлює роботу підсилювачів і генераторів у даному діапа­зоні. У будь - якому разі, в оптичному та в більш короткохви­льових діапазонах спонтанні переходи необхідно враховуватиістотно. Отже, зі зростанням частоти ймовірність спонтанно­го переходу різко зростає. Таким чином, при hw kT система вироджується у квантовомеханічну, а при hw kT є класи­чною механічною системою [17].

 

2.2.   Дипольне випромінювання. Дозволені та заборонені переходи

 

З погляду випромінювання і поглинання електромагнітної енергії атом можна розглядати як мультипольну систему. За ви­значенням, мультиполь є системою парних, різнойменних за­рядів, що має певну симетрію. Систему двох зарядів називають диполем, чотирьох квадруполем, восьми октуполем і т.д.

Кожен мультиполь характеризується своїм моментом, по­рядок n якого пов'язаний з повним числом зарядів N співвід­ношенням N _ 2n. Довільний розподіл зарядів у загальному випадку можна подати у вигляді ряду, члени якого становлять моменти різних порядків. Таке подання виявляється зручним для опису випромінювальних властивостей атомів і молекул. В оптичному діапазоні довжина електромагнітної хвилі набагато більша за розміри атома і ряд швидко сходиться зі збільше­нням порядку мультиполя. Як показують розрахунки, для ви­димої області з довжиною хвилі, наприклад, Л = 0,5 10-6 м, квадрупольне випромінювання слабше за дипольне приблизно

у 06 разів [22], [13].

З точки зору класичних уявлень простим джерелом еле­ктромагнітного випромінювання є точковий заряд, що рухає­ться з прискоренням. Енергія E, випромінювана зарядом e за одиницю часу, пропорційна квадрату прискорення а [17], [13], [15], [22]: 2

_ _e           а2, (2^9)

dt 6пє0с3

Якщо заряд виконує гармонічні коливання із частотою w таамплітудою rm, то його координата з часом змінюється згідно із законом

r(t) = rm cos(wt). (2.30) Звідси прискорення

d2r d

a = = (-rmUJ sin(wt)) = -rmUJ2 cos(wt). (2.31)

 

У результаті із (2.29) можна отримати миттєву потужність випромінювання:

P = -dE = G-r^ cos2(wt). (2.32)

 

Усереднена за часом потужність випромінювання за період ко­ливань становить [17], [13], [15], [22]:

e2r2 ш4

 

 

оскільки

1      Г"        ,........       о ,    ... 1

/    cos2(ujt)dt = (cos2(wt)) = - (2.34)

27 J о 2

(кутові дужки в даному випадку означають усереднення).

Формула (2.33) буде правильною і для випромінювання, створеного системою з багатьох зарядів. Найпростішою із та­ких систем є електричний диполь сукупність двох однако­вих за величиною та протилежних за знаком зарядів, що знахо­дяться на відстані l один від одного.

Момент електричного диполя d, або дипольний момент, чисельно дорівнює добутку величини зарядів e та відстані між ними l:

\d\ = el (2.35)

і спрямований від негативного полюса до позитивного (рис. 2.6). Якщо дипольний момент d гармонійно змінюється з ча-


d


l

 

 

Рисунок 2.6 Електричний диполь

 

 

стотою ш, то такий диполь називають осцилювальним дипо­лем, або осцилятором. Усереднену потужність випромінюва­ння такого осцилятора можна отримати із рівняння (2.33):

(P) = т^-3 4 (2.36)

 

де d0 амплітуда зміни дипольного моменту (d0 = erm).

Багато оптичних властивостей випромінювальних систем можна отримати, моделюючи такі системи сукупністю гармо­нійних осциляторів, власні частоти яких збігаються із частота­ми даних переходів. Розглянемо електрон, що рухається за елі­птичною орбітою навколо позитивно зарядженого ядра.

Як бачимо з рис. 2.7, такий рух можна замінити гармоній­ними коливаннями двох диполів (лінійних осциляторів), власні частоти ш0 яких дорівнюють кутовій швидкості обертання еле­ктрона за орбітою, а фази зміщені на кут п/2 [17], [13], [15], [22]. Дипольні моменти таких випромінювачів визначаються згідно з рівняннями

 

dx = —er0x cos u>0t,       dy = -er0y sinoj0t. (2.37)

З погляду класичної електродинаміки осцилювальний ди­поль випромінює енергію безперервно. Амплітуда коливань для класичного осцилятора може набувати будь-яких значень. У початковий момент часу t = 0 осцилятор має кінетичну енергію


y

_^ y

и

 

 

 

 

 

 

<—1^

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.7 Модель атома, подана у вигляді двох осциляторів

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка