О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 5

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

 

 

E0, що пропорційна квадрату амплітуди коливань r0 = rm(t =
0):                                                      
2 2

E = m^20r0' (2.38)

де т маса електрона. З часом такий класичний осцилятор передає енергію полю згідно із законом (2.32), що відповідає зменшенню амплітуди коливань rm. Тоді для ненульового мо­менту часу (t > 0) маємо

(E(t)> = тш0 (t). (2.39) Порівнюючи цей вираз з (2.33), отримуємо

(P> = — d(E> =                 (e >. (2.40)

 

Уведемо таке позначення:

е2ш2

Y =6     Г", (2.41)

тоді зі співвідношення (2.40) отримуємо рівняння для енергії випромінювача

d(E> + Y (E > = 0, (2.42)звідки одержуємо закон дебаївської релаксації (Е(t)) = Eo exp(-Tt),


 

 

(2.43)де енергія Е0 = Е(t = 0) визначається співвідношенням (2.38), а час релаксації Дебая т та параметр (2.41) зв'язані оберненим зв'язком (т = 1/y).

Якщо співвіднести рівняння (2.39) і (2.43), враховуючи (2.38), знайдемо зміну амплітуди коливань класичного осциля-

тора з часом:rm(t) = ro exp ­


(2.44)Тоді з урахуванням співвідношення (2.30) координата з часом буде змінюватися за закономr(t) = r0 exp   — —   cos U)0t.


(2.45)
Графік цієї залежності зображений на рис. 2.8. Враховуючи за­кон (2.43) та визначення (2.41) i (2.38), знаходимо, що усере­днена за період потужність випромінювання електричного ди­поля змінюється з часом за експоненційним законом [17], [13], [15], [22]:

 

/ Р\ - _ dE) -   Є2^0Г0 e-7* -     ^0d0    e-T* = D e-7*     (2 46)

{P) =     dt   = 12ne°c3      - 12ne°c3      =      '  ( )

де

- T^-3. (2.47)

Із наведеного раніше бачимо, що миттєва потужність випро­мінювання диполя пропорційна r2(t). Очевидно, така система випромінює немонохроматичну хвилю (див. рис. 2.8). Для ви­значення спектра випромінювання r(t) потрібно подати її у ви­гляді інтегралу Фур'є, тобто функцію (2.45), зображену на рис. 2.8, подати у вигляді континууму (інтеграла) гармонійних скла­дових:

/

+оо r(u))exp(iu)t)dt' (2.48) -оо

1 г+оо

r(uj)-—j     r(t)exp(—iwt)dt. (2.49)

2п ./-оо

де амплітуди гармонійних складових

І

Залежність (2.45) можна записати в експоненційній формі:

r(t) - 1 r°e-% (еШ0І + е-шоі). (2.50) Тоді із (2.49) отримуємо

г(ш)-2° ~(    Ц+т' (2.51)Залежність

 

 

 

називається кривою Лоренца, де A множник, що визначає­ться умовою нормування /gL(uj)duj = 1 і дорівнює

 

A = 7 2п

 

Крива Лоренца визначає розподіл енергії за частотним спе­ктром. Вона має максимум д(ш0) = 2/п7 (див. рис. 2.9) при ш = ш0. На відстанях ш0 ш = ±7/2 спектральна густина змен­шується вдвічі. Величина 2(ш0 ш) = Аш = 7 називається на-півшириною лінії і є природною шириною спектральної лінії. Відомо, що 7 = 1/т, де т час релаксації. В результаті отри-
муємо фундаментальне співвідношення спектрального аналізу (співвідношення Гейзенберга) [17]Ашт 1.


(2.53)Розглянемо тепер квантовий осцилятор. Його енергія, на відміну від класичного осцилятора, може набувати тільки пев­них дискретних значень. Тут не може бути повільної зміни ам­плітуди коливань, а наявний лише стрибкоподібний перехід з одного дозволеного стану до іншого. Частота випромінювання квантового осцилятора визначається за допомогою енергії пе­реходу згідно з рівнянням

E  — E п

Такому переходу відповідає виникнення осцилювального електричного моменту атома. Електричний дипольний момент із точки зору квантової теорії має такий фізичний зміст. Для за­даного стаціонарного стану n розподіл заряду електрона в атомі (розподіл «електронної хмари») задається у вигляді єфПфпёУ. Ця величина є ефективною густиною заряду в об'ємі dV. Тоді середнє значення електричного дипольного моменту [13], [15], [22]

dnn = e j фПipnrdV, (2.54)

а його проекції

dxnn = e У фП ФпХбУ,

din =  є j фФ*ФпУУ, (2.55)

ddnn = e j фПфnzdV•

Тут r радіус-вектор, проведений від початку координат, де розміщене ядро атома.

Під час переходу атома зі стану m до стану n розподіл за­ряду визначається хвильовими функціями обох станів [13], [15], [22]:

Pmn = єфПФт. (2.56)Об'ємна густина заряду при переході із одного квантового стану до іншого осцилює з характерною частотою штп. Такий розподіл заряду можна характеризувати інтегральним диполь­ним моментом [13], [15], [22]D (t)


/


,dV.


(2.57)У стаціонарному стані дипольний момент не змінюється з ча­сом. При переході з одного стану до іншого виникають і осци­ляції дипольного моментуD (t) = d0


(2.58)де i = \f—\ уявна одиниця, а амплітуда дипольного моменту

 

(2.59)

 

характеризує ймовірність переходу і має назву дипольного ма­тричного елемента переходу m n.

Таким чином, квантовий перехід зі стану m до стану n мо­жна порівняти з появою осцилювального диполя з власною ча­стотою коливання штп. Сукупність квантових переходів у кван­товій системі характеризується двовимірною сукупністю чисел dmn. Цю сукупність прийнято записувати у вигляді нескінченної матриці


dn

di2

d1n

d2i

 

d2n

dn1

dn2

d

nn


 

(2.60)складові якої називаються матричними елементами.Потужність, що випромінюється під час спонтанного пе­реходу m n, можна обчислити за допомогою отримано­го для класичного осцилятора співвідношення (2.47), якщо за­мість амплiтуди класичного дипольного моменту do підставити подвоєний матричний елемент 2dmn (множник 2 виникає при пєрєході від єкспонєнційної форми запису до тригонометричної) [22]. Вважаючи, що в одиниці об'єму знаходиться Nm диполів, отримуємо

(P) = ^mnN? (dmn)'- (2.61)

37ГЄ0С3

Величина Nm відповідає заселеності верхнього енергетичного рівня.

Ураховуючи зв'язок між випромінюванням, потужністю та ймовірністю спонтанного переходу [22], [13]

Pmn      AmnNm^^mn)                        (2.62)

маємо

, .3

A     =      mn   (d   )2                (2 63)

6ПЄ0ПС3

Це співвідношення відповідає випромінюванню осцилятора з дипольним моментом

dmn      2ermn COS(Cc,mnt)) (2.64)

де

fmn = j        ^mdV- (2.65)

Тоді коефіцієнт Ейнштейна вимушеного переходу при ви­промінюванні [17], [13], [15], [22], [31]

 

Bmn      7~7    Z^(dmn)  (2.66)

12є0п,2

Співвідношення (2.63) і (2.66) дозволяють розрахувати ко­ефіцієнти Ейнштейна, якщо відомі характеристики (хвильовіфункції та енергії) станів, між якими відбувається оптичний пе­рехід. Таким чином, коефіцієнти Ейнштейна, ймовірність спон­танних і вимушених переходів визначаються через недіагональ-ні дипольні матричні елементи матриці (2.60).

Виявляється, що не всі квантові переходи можливі, деякі з них дозволені, а деякі заборонені. У квантовій механіці існують правила відбору, які регламентують можливі квантові перехо­ди, тобто визначають можливість квантового переходу з одного енергетичного стану до іншого.

Рівень, з якого правилами відбору переходи заборонені та який, будучи коли-небудь збудженим, може існувати тривалий час, називається метастабільним.

Заборонені та дозволені переходи визначаються ймовірні­стю переходу. Ймовірність індукованого переходу між рівнями Em і En пропорційна квадрату матричного елемента |dnm|2 еле­ктричного дипольного моменту.

Якщо матричний елемент ненульовий, перехід між рівнями Em і En є дозволеним, якщо dnm = 0 — перехід є забороне­ним. Згідно з (2.16), якщо dnm = 0, то ймовірність переходу теж повинна дорівнювати нулю. Такі переходи називають заборо­неними в електродипольному наближенні.

Проте умова dnm = 0 не означає, що нижні переходи між рівнями Em і En не відбуваються, оскільки визначається ли­ше ймовірнісне наближення. Врахування взаємодії з магнітним полем та більш ретельний розрахунок взаємодії з електричним полем показує, що ймовірність переходу може не дорівнювати нулю навіть якщо dnm = 0. У цьому разі перехід може відбути­ся, наприклад, у результаті взаємодії між магнітним полем хвилі й магнітним дипольним моментом атома. Отже, перехід, що за­боронений наближенням електродипольної взаємодії, є дозво­леним у наближенні магнітодипольної взаємодії, і навпаки.

Належність переходу до заборонених або дозволених ви­значається правилами відбору. Для атомних рівнів, що хара­ктеризуються квантовими числами n, l і ml, правила відбору для дипольних пєрєходів такі [17], [13], [15], [22], [31]:

1.  Зміна головного квантового числа може бути будь-якою:

An = 0,1,2,...

2.  Орбітальне квантове число l може змінюватися тільки на

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка