О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка - страница 6

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 

±1:

Al = ±1.

Це правило, по суті, відображає закон збереження моменту кількості руху для системи електрон+фотон, оскільки момент кількості руху фотона дорівнює h.

3.  Магнітне квантове число mi може змінюватися тільки на 0або ±1:

Ami = 0; ±1.

Аналогічні правила існують і для квантових чисел: L су­марного орбітального квантового числа; S сумарного спіно­вого числа і J повного моменту системи

J = L + S.

Перехід буде дозволений, якщо виконуються всі правила відбору. Якщо переходи дозволені в дипольному наближенні, то для них Amn має порядок величини 108 с-1, у випадку ре­лаксації зі збудженого стану визначається лише спонтанними випромінювальними переходами менше ніж 108 с-1, якщо є, на­приклад, безвипромінювальні процеси спустошення рівня. Такі рівні з малим часом життя називаються лабільними. Якщо пе­реходи заборонені в дипольному наближенні, тобто dmn = 0, це не означає, що вони взагалі не можуть відбутися. Крім еле­ктричного дипольного моменту і пов'язаного з ним дипольного випромінювання, атому можна приписати електричний квадру-польний (октупольний) або магнітний дипольний (квадруполь-ний) момент. Матричні елементи і відповідні ймовірності еле­ктричного квадрупольного і магнітного дипольного переходівприблизно у 106 разів менші, ніж для електричного дипольно­го наближення (якщо ті та інші дозволені правилами відбору). Ймовірність октупольних переходів, тобто переходів зі зміною моменту третього порядку, ще менша. Збуджений енергетичний стан системи, для якого всі переходи до нижніх станів заборо­нені для електричних дипольних взаємодій, називається мета­стабільним рівнем. Час життя атомів у цьому стані близько 10-3 с і більше [17].

 

2.3.   Форма та ширина спектральних ліній

 

Під час розгляду енергетичних станів квантових систем і квантових переходів, не обговорювалося питання про ширину дискретних енергетичних рівнів атомів і молекул, при цьому та­кі рівні бралися нескінченно вузькими. В результаті випромі­нювальним переходам між такими ізольованими рівнями енер­гії відповідала б нескінченно вузька спектральна лінія випромі­нювання (або поглинання) для чітко фіксованої частоти, тобто ідеальна монохроматична хвиля. У дійсності подібна ситуація неможлива, з тієї причини, що час життя т0 у збудженому стані має кінцеве значення, а згідно зі співвідношенням невизначено-стей АЕт0 ~ h це призводить до невизначеності для значення енергії стану, тобто до "розмивання" енергетичного рівня на величину порядку AE. Для ізольованих атомів і молекул таке розширення дуже мале (AE <с Е), але кінцева ширина енерге­тичних рівнів є принциповою [17], [13], [15], [22], [31] .

Таким чином, ширина енергетичного рівня AE залежить від часу життя частинки у даному енергетичному стані. Найбільш розширені енергетичні рівні мають малий час життя частинки, і навпаки.

Ступінь і характер розширення енергетичних рівнів кванто­вих систем найбільш чітко проявляється підчас вивчення фор­ми спектральних ліній, тобто характерних вузьких ліній випро­мінювання або поглинання, що відповідають певному випромі­нювальному квантовому переходу.

Розподіл інтенсивності випромінювання І/І0 (або поглина­ння) за частотою в межах даної лінії характеризується функці­єю д(ш), яка називається форм-фактором спектральної лі­нії, або просто формою лінії. Ця функція відповідає умові нор­мування, тобто

/

+оо g(uj)duj = 1. (2.67) -оо

Для характеристики відносної ширини спектральної лінії використовують поняття добротності спектральної лінії, яка чисельно дорівнює відношенню резонансної частоти ш0, що характеризує максимум спектральної лінії (див. рис. 2.9), до її ширини Аш на рівні половинної інтенсивності; та поняття ши­рини лінії, що визначається інтервалом частот Аш біля центра лінії, на краях якого інтенсивність поглинання (або випроміню­вання) падає вдвічі порівняно з центром лінії.

Ширина лінії, що визначається спонтанним часом життя квантової частинки, називається радіаційною, або приро­дною, шириною. Природна ширина лінії це та межа, вужчою за яку не може бути спектральна лінія.

Відомо, що час життя частинки у збудженому стані пов'яза­ний з імовірністю спонтанного переходу співвідношенням

 

Tnm = a, (2.68)

 

тому згідно зі співвідношенням невизначеностей можна запи­сати AE = hAnm. Оскільки, з іншого боку, АЕ = hAu, то в результаті отримуємо рівність

Au = Anm. (2.69)

Тут Anm імовірність спонтанного переходу величина обернено пропорційна середньому часу перебування частинкина збудженому енергетичному рівні, тобто часу, за який заселе­ність цього збудженого рівня зменшується у 2,7 раза [17].

З природною шириною спектральної лінії пов'язане інше поняття квантової механіки — час життя квантової частинки на збудженому рівні. Кількість частинок, що спонтанно зали­шають збуджений енергетичний стан за інтервал часу dt, ви­значається як dNn(t) = —AnmNn(0)dt, або dNn(t)/Nn(0) = -Anmdt, звідки

 

Nn(t) = Nn(0) exp( — Anmt) = Nn(0) exp( — t/Tnm).

 

Таким чином, ширина спектральної лінії на рівні, що відпо­відає 1/2 від максимуму, дорівнює величині (2.69). Отже, чим більша ймовірність спонтанного переходу, тим більша приро­дна ширина лінії, а оскільки Anm ~ сщ3, то в радіодіапазоні природна ширина лінії буде істотно меншою, ніж в оптичному діапазоні. В результаті отримуємо форму лінії випромінювання (поглинання), що задається розподілом Коші, яке, у свою чергу, задається функцією Лоренца (2.52) [17], [13], [15], [22], [31].

Природна ширина лінії дуже мала, оскільки вона не пов'яза­на із зовнішніми взаємодіями. Штучно її зменшити неможливо. У більшості випадків реальна ширина лінії значно перевершує природну ширину

Y > Aunp. (2.70)

Причинами такого розширення можуть бути різні процеси в газах і твердих тілах. Зменшення часу життя частинок на верх­ньому енергетичному рівні у газах може відбуватися за рахунок їх зіткнення одна з одною, з вільними електронами, зі стінка­ми посудини. Форма спектральної лінії, розширеної за рахунок зіткнень, буде описуватися функцією Лоренца, як і для приро­дної ширини лінії. Тепловий рух частинок у газі призводить до розширення лінії, пов'язаного з ефектом Доплера. Ефект До­плера визначається зміною частоти (довжини хвилі) коливань,що сприймається спостерігачем, завдяки взаємному руху спо­стерігача та джерела хвиль [17], [13], [15], [22], [31].

Якщо джерело випромінює електромагнітні хвилі з власною частотою ш0, то для спостерігача, щодо якого він рухається із швидкістю v, частота випромінювання, що сприймається,V1 - ?

Ш0 1- vcosB


(2.71)для v c
(2.72)

Частота випромінювань збільшується, якщо джерело на­ближається до спостерігача, і зменшується, якщо він віддаля­ється від нього. Хаотичність теплового руху атомів і молекул у газі призводить до того, що замість однієї резонансної лінії з ча­стотою ш0 приймач сприймає сукупність щільно розташованих ліній, обвідна яких дає спостережуваний контур спектральної лінії, як показано на рис. 2.10. Ширина цього спектра пропор­ційна ймовірній швидкості частинок у газі (тобто залежить від температури) і власній частоті переходу ш0.Завдяки закону розподілу частинок за швидкостями (розпо­діл Максвела)

 

f (v) =        exp -   -      , (2.73)

 

де v0 = \J найбільш iмовiрна швидкість руху частинок у газі, й співвідношенню (2.71) можна отримати форму спе­ктральної лінії, обумовлену доплерівським розширенням [17], [13], [15], [22], [31]:
. . 2-кЇ2 І \2-Ы2 - ш0)
до{ш) = =-— exp < ---------------------------


(2.74)де Ашп = 2у/\о2^<\JЩМ.  ширина доплерівської лінії на рівні

1/2 від максимального значення при ш = ш0; T температура; M маса частинки. Функція дс(ш) є розподілом Гауса, тому лінія, розширена за рахунок ефекту Доплера, має гаусову фор­му. Множник перед експонентою визначається умовою норму­вання. З порівняння гаусової і лоренцевої ліній, нормованих на одиницю, при однаковій ширині на половині висоти, відміченої відрізком Аш на осі абсцис, бачимо, що гаусова лінія має вищий максимум і менш виражені крила. Таким чином, конкретний ме­ханізм розширення помітно позначається лише на крилах лінії (див. рис. 2.11).

Отже, ширина спектральної лінії атома (молекули, іона) ре­човини, що знаходиться в газоподібному стані, визначається [15], [22], [31]:

     природною шириною;

     зіткненнями атомів з однорідними і неоднорідними атома­ми, з електронами та іонами, зі стінками посудини, в якій знаходитися газ;ефектом Доплера.

У квантових приладах разом із газовими середовищами використовуються тверді матеріали (різні кристали і скло), в яких введені парамагнітні іони-активатори. Наприклад, кри­стали рубіна (A/2O3 : Cr3+), ітрієво-алюмінієвого граната (Y3A/5O12 : Nd3+), скла, активовані Nd3+ та інші. Енергети­чні рівні в твердому тілі через цілий ряд причин мають вели­ку ширину (природна ширина спектральної лінії змінюється від десятих частин нанометра в кристалах до декількох нанометрів у склі). Проте рівні енергії, що знаходяться глибоко, випробо­вують мале збудження, тому їх спектр схожий на спектр ізольо­ваного іона.

Основними причинами, які істотно впливають на ширину спектральної лінії та її поглинання, є [15], [22], [31]:

     взаємодія іонів-активаторів з електромагнітними полями кристалічної решітки;

     вплив неоднорідності середовищ, обумовлений дефекта­ми кристалічної решітки (особливо в склі);

теплові коливання кристалічної решітки матриці; магнітна дія іонів-активаторів на енергетичні рівні акти­ватора та ін.


Необхідно відзначити, якщо розширення ліній щодо фіксо­ваної частоти ujnm відбувається за рахунок процесів, що обме­жують час життя збудженого стану (спонтанні переходи, пере­ходи, викликані різними зіткненнями), воно називається одно­рідним. При однорідному розширенні форма лінії описує спе­ктральні характеристики кожної частинки і всієї системи части­нок у цілому (рис. 2.12).

Існують процеси, що викликають розкид частот переходів в атомній системі. Можуть бути й інші механізми розширення спектральних ліній, наприклад, викликані неоднорідністю сере­довища. Розрізняють однорідне й неоднорідне розширення. Ін­шими словами, розширення називається однорідним, якщо лі­нії кожного окремого атома і системи в цілому розширюються однаково. До однорідного розширення відносять природне роз­ширення, розширення за рахунок процесів релаксації, зокре­ма зіткнень, і т.д. Розширення називається неоднорідним, якщо резонансні частоти окремих атомів не збігаються і розподіля­ються в деякій смузі частот, приводячи до тривалого розшире­ння лінії системи в цілому для істотно меншого розширення лі­нії окремих атомів. До неоднорідного розширення відносять до­плерівське розширення, розширення за рахунок неоднорідно-стей середовища i т.д. Форма однорідно розширених спектраль­них ліній зазвичай добре описується функцією Лоренца дь(ш), а форма неоднорідно розширених ліній функцією Гауса до(ш). Необхідно підкреслити, що в чистому вигляді спектральна лінія буде розширена однорідно або неоднорідно у разі, коли перева­жає якийсь один механізм розширення. Нерідко загальне роз­ширення спектральної лінії визначається одночасно декількома механізмами. У цьому загальному випадку форма лінії визна­чається функціями д\(ш) і д2(ш), що описують форму лінії для різних процесів [13], [15], [17], [22], [31]:

/

оо ді(ш')д2 - ш')(кш'. (2.75) о

Згортка двох лоренцевих ліній шириною Аші і Аш2 призво­дить до лоренцевої лінії шириною Аш = Аш1 + Аш2 тобто

 

ды(ш, Аші)ді2(ш, АШ2) = дь(ш, Аші + АШ2). (2.76)

 

Це еквівалентно тому, що при однорідному розширенні час жи­ття визначається співвідношенням

111         1 ,^ч

= - + - + ... + - + ... (2.77)

Тт       Ті       Т2 Ті

Згортка двох гаусових ліній шириною Аш1 і Аш2 приводить також до гаусової лінії шириною

 

Аш =\]Аш2 + Аш2, (2.78)

тобто

дсі(ш, АшіС2(ш, Аш2) = до^ш,^Аш2 + Аш2^ . (2.79)Якщо однорідне й неоднорідне розширення мають один по­рядок величин, то завдання визначення форми лінії зводиться до знаходження згортки лоренцевої і гаусової функцій (відпо­відні інтеграли табульовані й у математиці відомі як інтеграли Войта). Таким чином, форма спектральної лінії д(ш) відома, що дозволяє визначити в явному вигляді спектральну залежність коефіцієнтів Ейнштейна, яка з точністю до сталого множни­ка повинна визначатися функцією д(ш). Оскільки функція д(ш) нормована, то [13], [15], [17], [22], [31]

о

const = атп(ш)(іш = Атп, (2.80)
Jo

тобто

атп(ш) = Атпд(ш),                            (2.81)

аналогічно

 

Ьтп(ш)                        =  Втпд(ш), (2.82)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37 


Похожие статьи

О С Кривець, О О Шматько, О В Ющенко - Квантова електроніка