Ф Л Шевченко - Методы расчета бурильных колонн на продольный удар - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 531.3

МЕТОДЫ РАСЧЕТА БУРИЛЬНЫХ КОЛОНН НА ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР

 

Шевченко Ф.Л., докг. техн, наук, проф., Улитин Г.М., канд. техн. наук, доц., Донецкий государственный технический университет

Рассматривается расчёт весомого стержня на продольный удар методом Фурье.

It is consider the calculation of weights pivot at the longitudinal shock by Fourier method.

 

Бурильная колонна буровой установки роторного типа (или РТБ) представляет собою трубный став, на котором подвешен рабо­чий инструмент (бур) и утяжелитель. Расчетную схему можно пред­ставить в виде стержня переменной длины / с погонной массой т и жесткостью EF. Для рассмотрения колебательных процессов, возни­кающих в колонне во время эксплуатации установки будем считать, что стержень жестко защемлен верхним сечением, а на нижнем сече­нии приложена сосредоточенная масса М7 которая может приклады­ваться к колонне внезапно. Такая нагрузка может проявится при вне­запном перемещении верхнего сечения вследствие его задержки, а за­тем внезапного срыва. Это равносильно тому, что масса нижнего гру­за прикладывается к стержню с некоторой скоростью v. При такой нагрузке в стержне возникают продольные колебания, которые опи­сываются волновым уравнением

d2u{xj)    2 d2u{xj)                                _ lEF

dt2                          дх2   7                          Ь1 {)

Решение этого уравнения может быть выполнено методом Да-ламбера или методом Фурье. Решение по Даламберу, описывающее движение прямых и обратных волн деформаций j[z) аргументов z=ct-х и z=c/+:t, сводится к дифференциальному уравнению

.    /V) + ~Я*) = ГС* - 2/) - j-.nz - 21),    Z, = - (2)

что приводит к расчетным формулам для перемещений сечений u(z) и напряжений a(z) [1]:

Наукові праці ДоііДТУ

a(z) = -~^(l-e-'/y)    kz) = E-e~*W прмО<г<2/, (3),


 

 

с

 

 

С

На основании этих формул , при выборе начата координат на ж>Оодцом конце стержня, легко построить эпюры: перемещений и напряжений. На рис. 1 показаны такие эпюры u(Q,t)t о(0,/), a(l,t) для

случая      . Наибольшие напряжения о = %21Ечіс возникают в задел­ке при t - 31/с, * о(0)

«е-

По наглядности решение по Даламберу оказывается удобным для пракгического пользования, но вывод расяетньїх формул весьма трудоемкий особенно при больших значениях £, когда ісужно учиты­вать несколько интервалов z распространения и наложения волн формаций, что приводит к весьма громоздким уравнениям.

Существенно проще аналитически эта задача решается, и позво­ляет формализовать решение, методом Фурье,, когда функцию пере­мещений u(xff) представляют в форме стоячих волн в виде

u(xj) = %'Х(х)Щі)= Z(C„sinArt.v + IJ,cosV)sin((on/ + ^). (5) Дифференцированием (5) получим внутреннее усилие

(6)

ох п=о и скорость деформаций

v(x9t) = —ш= 2шп{Сп5тАпх+£;^соз^хХсол/ + ц^. (7)

 

При выборе начала координат в защемлении общее решение (5) должно удовлетворять начальным

ы(х,0) = 0,    u(xfi) = ve(x-l) (8)

и гран етч ным

н(0,/) = 0,   N(l,t) = -Ж(&) (9) условиям, где е(х-1) - единичная функция.

Удовлетворяя ПерВЫМ УСЛОВИЯМ (8), (9), ПОЛуЧИМ Dn =0,[ifl = 0 и

уравнения (5)-(7) примут вид:

 

u(x,t)= YdCrjsmknxsm<j)fltf (10)

 

N(xJ) = n£EFknCrcosknxsmuntt (11)

 

v(xtt)= ^ш„Сч smft^rcosa^/. (12) Из второго условия (9) получаем частотное уравнение

<g&. = rU   ^ = W. (13)

На основании известных формул интегрирования собственных функций [2], соответствующих собственным значениям уравнения (13), замечаем, что они обладают свойством

^^ммЙт ^і'^миііі мм     яшШ        і   і________________ _________________ випуск 27

\X„ {x)Xm (x)dx =        {l)Xm (/),

 

т*е- в рассматриваемой задаче собственные функции ортого­нальны с весом

р(*)= І+Щх-1), где 5(х-0- дельта-функция Дирака.

Используя это свойство, удовлетворим второму условию (8). этого подставим скорость (12) во второе условие (10), умножим а Х^х^уіх) и проинтегрируем по длине стержня:

 

 

о о Отсюда, учитывая свойства интегрирования дельта-функции, получим амплитуду перемещений

W sink!

 

 

Следовательнсі, на свободном торце стержня получаем:

т-^Щ^гі^- (15)

v(/,,) = 2vt°T  sinX»   cosco„f. (16)

В защемлении

а(0,0 = 2£-і   \  sina)„r. (17) с n=ol + ^sin X

Ряд (15) сходится достаточно быстро. Так, для случая ^1 при =3 и t= 1/с , когда волна деформаций дойдет до заделки, на конце стержня возникают перемещения

 

u(IJ/c) =  2- 2—3                        ~        \-vfi3Z—,

cnti v(l + sin2M) с

что совпадает с результатами решения задачи но Даламберу. Для скорости (16), чтобы получить значение, совпадающее с решени­ем по Даламберу, уже нужно суммировать 10 членов ряда при t=l/c:

viU/c) = vi°2                                    cosV = 0,368v.

п=\   І + sin к J

При вычислении наряженийи=33

ст(0,//с) = £- S

с л 1 + siir kj

лишь 33 члена ряда обеспечивают погрешность 0,5%. С увеличением времени t скорость сходимости рядов ухудшается и при t=Wc , когда возникают наибольшие напряжения, просуммировать ряды практиче­ски невозможно. Это объясняется разрывностью функций, содержа­щих производные от перемещений, (см. рис. 1) и; является основным недостатком метода Фурье, что ограничивает его применение. Но здесь можно применить известный прием по улучшению сходимости таких рядов, предложенный А.Н. Крыловым [3], суть которого за­ключается в представлении исследуемой фушецни напряжений в ви­де суммы <т(г) = .Р(т) + *р{т), где F{x) - известная функция с таким же

скачком, что и заданная функция а(т), а образованная при этом раз­ность ф(х) = о(-с) - F(t) представляется быстро сходящимся рядом-поправкой. Для этого приема используем асимптотическое представ­ление корней частотного уравнения (13), Из анализа корней этого уравнения следует, что НтХп - оокогда Хп =mcH-a„(w=0f 1 ,2 ...), где

/ша„"0. Из (13) для определения а„получаем уравнение

*8*>'<   1     ч, (18)откуда следует ал


I


при п>1.

В качестве аппроксимирующей функции F(x) можно принять известные ряды[4]:л=со


п БІШЇЛТ


и Y(-Dn-—-

П                         к=1 п

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Ф Л Шевченко - Ударные процессы при спуске и посадке на забой агрегата ртб

Ф Л Шевченко - Устойчивость ретрансляционной башни

Ф Л Шевченко - Эпюры перемещения сечений невесомых стержней при растяжении-сжатии

Ф Л Шевченко - Ловильные устройства для ликвидации аварий при проходке скважин дуровыми установками

Ф Л Шевченко - Методы расчета бурильных колонн на продольный удар