В А Щербина - Вычитательная процедура в нелокальной модели квантовой электродинамики - страница 1

Страницы:
1  2 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ьшуск 8

1969

ВЫЧИТАТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА В НЕЛОКАЛЬНОЙ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В. А. Щербина

1. О СТРУКТУРЕ КОНТРЧЛЕНОВ К КОЭФФИЦИЕНТНЫМ ФУНКЦИЯМ

Переход от коэффициентных функций ряда теории возмущений для

і ~

■э-матрицы, описываемых произведениями 11(G), кфункциям П[1— P(G)]TL(G),

встроенным в предыдущей работе, соответствует замене сглаженного сператора Н (х) в уравнении Шредингера; некоторым другим тоже, как будет ниже показано, ограниченным и самосопряженным. Вопрос этот достаточно подробно рассмотрен в известной работе А. Н. Боголюбова е Д. В. Ширкова [1], хотя нековариантность сглаживаний вносит неко­торые особенности (см. также [2]).

Рассмотрим расходящуюся диаграмму G с ^-вершинами: контрчлены 5 отвечающему ей произведению ek 11(G): Ф ... А ...: можно разбить на zse группы:

l)—e"P(G) П[1 —P(G,)] 11(G) :ф... Л...: ;

Gj-фв

2)       + nP(G/)H(G): ф... Л ... : ,

(/)

где ни одна из G,- ф G. Контрчлены первого типа и порождают по­правки к гамильтониану в k-ом порядке по е, приводящие к замене в

ряду для S коэффициентов 11(G) на П[1 P(G;)] 11(G).

Заметим сразу же, что поскольку расходящиеся диаграммы всех типов встречаются в сколь угодно высоких порядках по е, то поправок к Н (х) будет бесконечно много, что может превратить его в неограни­ченный оператор. Поэтому мы будем включать в исправленный гамиль­тониан Ны {х) контрчлены, отвечающие диаграммам G порядка не выше N. Ввиду их конечного числа вопрос о неограниченности Ны(х) не возни­кает. Когда же N -> оо, то коэффициентные функции в любом фиксиро­ванном порядке заменяются на П[1Р (G,)] П (G).

Как   вытекает    из   определения   оператора    P{G), функционал

P(G) П[1 P(G,)1II(G) локален, т. е. имеет вид

Ak(G) = P{§cj^(x2— хъ xs~ xv . . .,xk Xj), (1)

где P (jfcj — дифференциальный полином степени не выше п, а п — индекс расходимости диаграммы G.по

В. А. Щербина

Соответствующий контрчлен к гамильтониану Н (х) имеет вид

X nW,)dV/ = ekVCj(G) L; |:Ф(лг)... Л (л:)...:}, (2J

/=і W где С/(С) ■— некоторые константы, a     [: * (х)... А (х). . . :} получаются из  :Ф(х) ... А (х) ... : с помощью дифференцирования  некоторых опь раторов Ф,       Л,       причем сумма порядков, входящих в Lj производ­ных, не превосходит индекса расходимости п.

Стоящий справа в (2) оператор, очевидно, ограничен, если все С, (G1 конечны. Следовательно, и все члены ряда для S с исправленным га-! мильтонианом тоже будут ограниченными.

В члены ряда для S порядка выше k контрчлен (1) войдет как целое, и при переходе от Г-произведений к нормальным в хронологических спа­риваниях будут участвовать операторы из Lj {: Ф (х)... А (х) ...:} . Если

Р       в Ak (G) второго порядка, то, как нетрудно видеть, уже

k—i

.... Ук-1-х)Пм<Ру,Т{:у...А...:Н(г)\Ф

^HCj(G)T{Lj{:^(x)...A{x)...:}H(z)}. (3)

</)

Действительно, при интегрировании по у слева мы получим опера­торный полином, коэффициентные функции которого будут содержать вторые производные от причинных функций.

Но сглаженная (х) имеет разрывную  производную по х°, т. е.

д2

^—^Dc(x) уже содержит Ь(х°). Это сразу видно, если перейти к преоб­разованиям Фурье:

Ъ (k) = e-°*2(F + i0)~\

т. е.

_ Правая же часть в (2) ограничена, поскольку вместе с операторами Ф (х), Ф (х), Л (х) ограничены и все их производные.

д2

Если слева в (2) после интегрирования по у заменить все -—^Dc(x)

дх°

на <iDc(x), где А оператор Лапласа, то равенство будет иметь место. Из сказанного вытекает, что никакие поправки к гамильтониану взаимодействия Н (х) не дадут контрчленов к 11(G) вида A(G')H(G") = — Р (С) 11(G), если индекс п для G' больше двух. Что касается электро­динамики, то поскольку п < 2 всегда, это возможно.

Сформулируем теперь правило построения контрчленов к сглажен­ному гамильтониану взаимодействия Н (х).

Для этого достаточно определить соответствующие функционалы Ак (G),

т. е. дать правило раскрытия произведений P(G) fl [1 P{Gj)} H(G) с учетом сделанных замечаний.

Вычитательная процедура в нелокальной модели квантовой электродинамики Ц|

Выше мы определяли P(G')TL(G) как [P(G') TI(G')]        ■     е. как результат следующего предельного перехода:

s=0

rze индекс диаграммы G', а г число ее вершин. П^С; f-j по­дучено из П(С') после замены координат ее вершин хт на

Результат этого предельного перехода можно представить в виде «уммы произведений

Pi^£jb{x-xl,       x — xr-i)LrTHG"), (4>

где Lj'R(G") получится из после замены всех хт  из G' на х и

дифференцирования некоторых сомножителей получившегося произведе­ния по х. Сумма порядков взятых производных /' и степень / полинома

, д \

РАдх) ПРИ этом так°вы, что / + /' < па'.

Теперь определим P(G') 11(G) в виде суммы тех же произведений

д2

\Л), что и ранее, с той разницей, что всюду2®°т(х У) заменяются

дх°

на (k—m2)Dc(x — y).

Теперь, чтобы определить П[1P(G,-)] 11(G) для новых Р (G;), до­статочно сказать, что операторы Р (Gk) для диаграмм разных классов, перемножаются обычным образом.

2. ЭРМИТОВОСТЬ КОНТРЧЛЕНОВ

Для эрмитовости исправленного Hn(x) достаточно, чтобы все опера­торы

-(0*JP(G) П {l-P(Gj)]IL{G):^...A:hg(Xi)d% (5)

:нли антиэрмитовы (см. [3], стр. 157).

Сопряженный оператор для П (G): Ф ... А...: получится, очевидно, если после приведения к нормальной форме антихронологического произведе­ния  г|п Я(хг)| = |г|п Я(лгг-)| |* взять слагаемое,  содержащее тот же

набор операторов Ф, Ф, А под знаком нормального произведения. Про-Езведение 11(G), отвечающее этому сопряженному оператору, будет со-^ржать перестановочные функции, соответствующие теперь уже анти­хронологическим спариваниям. И если хронологические спаривания свя­заны с причинными функциями соотношениями (см. [3], стр. 161)

< Т {Am (х) An (У))}0 = igmnDl - у),

< Т (<|>« (х) Ь {У)) > о = у д + mU К (х - у), ю для антихронологических формулы запишутся так:

< Т(Ащ (х) А п{у))У 0 = - ig™D°[x -у),

(Т(Ых)ЫУ)))о = -\ {id + m)^m - у)-

112

В. А. Щербина

Отсюда видно, что для сглаженных операторов поля произведения 11(G)! будут состоять из сомножителей, допускающих интегральные представ­ления вида

где

о

Л - ■» 2

х \     х°ч0       х~{     (х2\ х°

t + ia' \ Т t       t +ia

D° w = - ш ]vwvw * w єхр [t It] j- (6')

0

a функции Ф, Ф2, Ф2 определяются равенствами (5), (5') предыдущей ра­боты.

Рассмотрим теперь среднее оператора (5) между любыми двумя век­торами Фх, Ф2 с фиксированным числом частиц:

— (t)" [p(G) П [1—P(G/)in(G)(01):^...A... :Ф2)П^(^)сг4^.

Для сопряженного оператора получим

- (—О» ГР (G) П   [ 1 - Р (Gj)\ ЖЩ (Фу : Ф ... Л ... : Ф2) П g (xt) d%.

J Qj+O 1=1

Отсюда легко заключить, что для антиэрмитовости оператора (5) необхо­димо и достаточно, чтобы преобразования Фурье функций (i)nP (G) П [ 1 —

P(G;)] 11(G) и (— 0"P(G) П[1 P(G/)]  П (G) различались знаками.

Указанный факт действительно имеет место, что можно проверить с помощью следующих построений.

Если взять преобразования Фурье функций inH(G) и (—i)nH(G) по переменным ы/ = xt х1 и разложить их в ряды Маклорена, то соответ­ствующие члены этих рядов будут различаться только знаками, что до­вольно просто вытекает из равенств (6) и (6') и свойств функций Ф, Фг>. ■Ф2. Отметим сразу же, что на самом деле функции F {11(G)} и Р {11(G)} в ряд Маклорена не разлагаются (он для них расходится), хотя и имеют производные всех порядков.

Из этого различия знаков следует, что и F {inp (G) П (G)}, F{(i)np (G) П (G)} тоже различаются только знаками. Что же касается

F {inp (G) П [ 1 — Р (G/)] П (G)} и F {(—i)np(G) П [ 1 — Р (G,)] 5"(G)j , то они получаются из выражений вида F {inp (G) U(G;i)} и аналогичного ему р{(j')"P(G)II(G; £)) с помощью дифференцирований по веществен­ным параметрам £ = (£t, £,v) и последующего предельного перехода £->0. При этом s в П(б; £), II(G; £) входят так, что по-прежнему со­ответствующие члены рядов Маклорена их преобразований Фурье раз­личаются знаком. Это и доказывает окончательно антиэомитовость опе­раторов (5).

Вычитательная процедура в нелокальной модели квантовой электродинамики ИЗ

Выше мы изменили несколько процедуру  раскрытия произведений

Щ1Р (Gj)\ 11(G). Но, как легко видеть, эти изменения не касаются ;войств вещественности коэффициентов в A(G).

Как уже говорилось, из антиэрмитовости операторов (5) вытекает,

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В А Щербина - Вычитательная процедура в нелокальной модели квантовой электродинамики