О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

LI

1_


(20.13)§ 21 Струм під час замикання та розмикання електричного кола [5]

За правилом Ленца, струми, що виникають внаслідок самоіндукції, спрямовані так, щоб протидіяти змінам струму у колі. Це приводить до того, що встановлення струму при
замиканні кола й зменшення струму при розмиканні кола відбувається поступово.

2

1

1 Знайдемо характер зміни струму при розмиканні кола. Нехай у колі, що зображено на рис. 21.1, ключ K спочатку замикають. Тоді через індуктивність L буде проходити постійний струм силою

K

/

I = EIR (21.1)

(опором джерела струму нехтуємо).

Рисунок 21.1 - Коло скла­дається з котушки з індуктивністю L й опором R і безіндук-тивним опором R . Напрями струмів у різних ділянках кола до розмикання ключа K по­казані суцільними стріл­ками, після розмикання -штриховими

При розмиканні ключа струм у колі 1-2-3-4 не може зникнути миттєво тому, що в індуктивності виникає ЕРС самоіндукції, яка спрямована так, щоб протидіяти зменшенню струму.

dI dt

Якщо індуктивність постійна, то сила струму в колі після розмикання ключа буде задовольняти закон Ома для замкненого кола

0.

(21.2)

I (R + R) = Es =- L яке можна подати у вигляді

dI   R + R T

dt L
I = const exp


R + R

L ' (21.3)R+

0

R

t

I

(21.4)

Функція (21.3) є загальним розв'язком диференціального рівняння (21.2). Значення константи визначається з початкових умов. При t = 0 сила струму в індуктивності має значення (21.1). Отже, const = I0 = E l R . Підставивши це значення в (21.3), прийдемо до формули

L

t

Рисунок 21.2 - Графік зміни струму при розмиканні (крива 1) і замиканні (крива 2) кола

E

Rexp

Таким чином, після відключення джерела ЕРС сила струму в колі не стає миттєво нульовою, а зменшується за експоненціальним законом. Графік зменшення струму наведено на рис. 21.2 (крива 1). Швидкість зменшення визначається величиноюt =


L

R + R (21.5)що має розмірність часу, яку називають сталою часу кола. Замінивши в (21.4) (R + R')/ L через 1/t, отримаємо формулуRRexp


t


(21.6)Відповідно до цієї формули t є час, протягом якого сила струму зменшується в e разів. З (21.5) бачимо, що чим більша індуктивність кола й менший її опір, тим більша стала часу t й тим повільніше зменшується струм у колі.

2 Проаналізуємо отриманий результат. Згідно з (21.4) ЕРС самоіндукції після розмикання кола визначається виразом- L dt


R + R E——— exp

R


R + R

-------- і

LУ початковий моментс   с R+R c

s R


(21.7)З (21.7) випливає, що у випадку, коли R >> R, ЕРС самоіндукції значно перевищує ЕРС E, що діяла в колі до його розмикання. Якщо розірвати просте (послідовне) коло, то місце розриву буде мати дуже великий опір R. Відповідно до (21.7) у колі виникне висока індукована напруга, що створює іскру або дугу в місці розриву.

L, R

3 Знайдемо характер зміни струму при замиканні кола. Розглянемо коло, яке зображене на рис. 21.3. Після замикання ключа K доти, поки сила струму не досягне сталого значенняI 0 =


E

R + R

(21.8)


R

Рисунок 21.3 - Коло, що складається з послідовно включе­ної індуктивності (L, R), опору R й джерела ЕРС E неоднорідного диференціального рівняння

у колі, крім ЕРС E, буде діяти ЕРС самоіндукції. Таким чином, сила струму буде визначатись законом Ома для замкненого кола

I (R + R) = E + Es = E - LdI / dt,

L (21.9)

звідки

dI R+R

—+--------- 1

dt L

(опором джерела ЕРС нехтуємо).

Ми прийшли до лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку, що відрізняється від рівняння (21.2) лише тим, що в правій частині замість нуля в ньому стоїть стала величина. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння можна отримати, додавши будь-яке його частинне розв'язання до загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд (21.3). Легко переконатися безпосередньо підстановкою у тому, що вираз (21.8) є частинним розв'язком рівняння (21.9). Отже, загальним розв'язком рівняння (21.9) буде функція

E                        ( R + R \

I =            + const expl            1 І (21.10)

R + R                    \     L j

(рекомендуємо перевірити підстановкою, що функція (21.1о) задовольняє рівняння (21.9).)

У початковий момент сила струму дорівнює нулю. Підстановка в (21.1о) I = о і t = о приводить до значення константи, що дорівнює (-E/(R+R )). Отже,R + R


R+R

1 - expl--------- 1

L


(21.11)З урахуванням (21.5) і (21.8) цій формулі можна надати вигляду

/ = /о - exp(-11 т)]|. (21.12)

Функції (21.11) і (21.12) описують зростання струму у колі після під 'єднання до неї джерела ЕРС. Графік функції (21.12) наведено на рис. 21.2 (крива 2).

 

ТЕМА 4 РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

§ 22 Вихрове електричне поле. Інтегральна й диференціальна форма закону електромагнітної індукції [5]

1 Як ми вже знаємо, Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції Фарадея. Сутність узагальнення полягає у введенні вихрового електричного поля, яке створюється змінним у часі магнітним полем. Закон електромагнітної індукції за Максвеллом має таке формулювання: будь-яка зміна магнітного поля з часом збуджує в навколишньому просторі

вихрове електричне поле. Циркуляція вектора напруженості Ев цього поля по будь-якому

нерухомому замкненому контуру Г визначається виразом

§ Ев dl = -£-, (22.1)

 

де Ф - магнітний потік, що пронизує контур Г. Ми тут використали для позначення швидкості зміни магнітного потоку знак частинної, а не повної похідної. Цим ми хочемо підкреслити, що контур Г повинен бути нерухомим.

Таким чином, Максвелл припустив, що магнітне поле, яке змінюється з часом,

обумовлює появу у просторі вихрового електричного поля з напруженістю Ев. Вихрове поле

Ев   істотно   відрізняється   від   електростатичного   потенціального   поля   Еп, яке

створюється нерухомими електричними зарядами. Як відомо, електростатичне поле Еп є консервативним (потенціальним), його лінії напруженості починаються й закінчуються на електричних зарядах. З умови консервативності поля Еп випливає, що робота, яка виконується цим полем над зарядом q при його переміщенні по будь-якій замкненій траєкторії Г , дорівнює нулю. Тобто

§ qEn dl = О, або § Еп dl = 0. (22.2) ГГ

Як бачимо, циркуляція потенціального електричного поля по довільному замкненому контуру Г дорівнює нулю. Циркуляція ж вектора напруженості вихрового електричного

поля Ев згідно з (22.1) відмінна від нуля. Отже, поле Ев, як і магнітне поле, є вихровим. Лінії

напруженості поля Ев замкнені або прямують до нескінченності.

Отже, електричне поле може бути як потенціальним (Еп), так і вихровим (Ев). У

загальному випадку електричне поле може складатися з потенціального поля Еп , яке

створюється зарядами, і вихрового поля Ев , обумовленого магнітним полем, що змінюється з часом:

Е = Еп + Ев. (22.3) Циркуляція сумарного електричного поля з урахуванням (22.1) і (22.2) буде дорівнювати

§ Edl = § Еп dl + § Ев dl = § Ев dl = -дфф (22.4)
г          г          г          г dtВрахуємо визначення потоку магнітного поля Ф = j BdS й той факт, що у випадку нерухомої

поверхні інтегрування операції диференціювання за часом і інтегрування по поверхні можнапоміняти місцями дФ / dt = dl j BdS / dt = jdB / dt dS . Тоді рівняння (22.4) набере


вигляду
j Edl =-\—dS

dt


(22.5)Підкреслимо, у співвідношенні (22.5) площа інтегрування S «надіта» на контур інтегрування Г. Рівняння (22.5) виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла. В основі цього рівняння лежить ідея про створення вихрового електричного поля змінним за часом магнітним полем.

2 Запишемо    закон    електромагнітної    індукції    в    диференціальній формі.

Використовуючи теорему Стокса для векторного поля AAdl


j rotA dS.

S


(22.6)нескладно перетворити рівняння (22.5), що виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, в рівняння, яке має диференціальну форму:j Edl = j rotE dS = - jdBdS

dtrotE = - —


(22.7)Рівняння (22.7) виражає закон електромагнітної індукції в диференціальній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла.

§ 23 Струм зміщення Максвелла [5, 9]

1 З'ясуємо вигляд законів електромагнетизму, які є вірними у випадку змінних електромагнітних полів. Такі закони були встановлені Максвеллом. До рівнянь, запропонованих Максвеллом, можна прийти шляхом послідовного узагальнення дослідних фактів. Слід вирішити, які з отриманих раніше рівнянь можуть бути збережені, які повинні бути відкинуті і які потрібно доповнити. Є один керівний принцип, що дозволяє просунутися у цьому напрямку. Варто виключити з основних такі рівняння, в основі яких лежить уявлення про безпосередню дію на відстані. До них відносять закони Кулона, Біо-Савара-Лапласа та ін. Ці закони несумісні з експериментально підтвердженим уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій, а тому не можуть залишатися правильними у всіх випадках. Потрібно зберегти тільки такі рівняння, які не суперечать уявленням теорії поля. Відзначимо, що коли рівняння задовольняє вимоги теорії поля, то його можна подати як в інтегральному, так і диференціальному вигляді. Максвелл висунув гіпотезу, яка потім експериментально була підтверджена, що загальними законами електродинаміки (тобто справедливими й для постійних, і для змінних у часі полів) є такі закони:

   теорема Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральному

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ