О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

jD dS = q (23.1)

S

і диференціальному вигляді

divD = p; (23.2)


теорема Гаусса для магнітного поля в інтегральному

')BdS = 0


(23.3)divB = 0;

   закон електромагнітної індукції в інтегральному

Г

S

I Edl = -^—dS

dt


(23.4)

 

 

(23.5)rotE = - —.

dt


(23.6)До основних рівнянь електродинаміки він також приєднав і закон збереження електричного заряду. У диференціальній формі він має вигляд рівняння неперервності електричного заряду— + div( 7)

dt

0.

(23.7)

 

густина електричного

Тут р - густина електричного заряду в деякій точці простору, j струму в тій самій точці простору.

2 Теорему про циркуляцію магнітного поля у речовині в інтегральній формі

IHdl = £Ік , (23.8)

Г к

яка нами була отримана для стаціонарного випадку, можна перетворити до диференціального вигляду. Для цього використаємо теорему Стокса

IHdl = IrotH ■ dS, (23.9)

Г S

а також те, що струми, які охоплюються контуром Г, можна знайти як інтеграл від густини електричного струму по поверхні S, що обмежена контуром інтегрування Г :

Е Ik =I jdS. (23.10)

к S

(23.11)

Тобто підставивши (23.9) та (23.10) в (23.8), отримаємо

rotH = j

I rotH ■ dS = I jdS, або

S S

S 2

Вираз (23.11) являє собою диференціальну форму теореми (23.8).

3 З'ясуємо, чи є правильною теорема про циркуляцію магнітного поля в речовині (23.8), (23.11) у полів, які змінюються з часом.

Для цього розглянемо магнітне поле, яке створюється струмом, що проходить при розрядці зарядженого конденсатора (рис. 23.1). Цей струм змінюється з часом. Лінії струму мають розрив у проміжку між обкладками конденсатора. Застосуємо до цього випадку теорему про

циркуляцію магнітного поля (23.8). Циркуляція I Hdl, що

стоїть у лівій частині рівняння (23.8), залежить тільки від форми й розміщення контуру Г. Вона є цілком визначеною величиною. З іншого боку сума струмів £ Ik , що стоїть в правійчастині того самого рівняння, такої властивості не має. Покажемо це. Для визначення £ Ik

потрібно подумки натягнути на контур Г деяку поверхню інтегрування й знайти струм, який пронизує цю поверхню. Виберемо поверхню інтегрування S1 такою, щоб вона перетинала провідник зі струмом (див. рис. 23.1). У цьому випадку

£ Ik = I. (23.12)

к

Якщо ж ми виберемо за поверхню інтегрування поверхню S2 , що проходить між обкладками конденсатора, яка не перетинає провідник зі струмом, то знайдемо, що

£ Ik = 0. (23.13)

к

Отримана нами суперечність між (23.12) і (23.13) вказує на те, що у випадку змінних з часом полів рівняння (23.8), а отже, і (23.11) виявляються неправильними.

На несправедливості рівності (23.11) для випадку нестаціонарних полів указують також такі міркування. Візьмемо дивергенцію від обох частин рівняння (23.11):

div(rotH) = divj.

Відомо, що дивергенція ротора завжди дорівнює нулю: div(rotH) = 0 . Звідси випливає, що дивергенція вектора j також повинна завжди дорівнювати нулю: (divj = 0). Однак цей висновок суперечить рівнянню (23.7), з якого випливає divj =-dp/dt Ф 0. Дійсно, при нестаціонарних процесах густина заряду р може змінюватися з часом (це, зокрема, відбувається з густиною заряду на7обкладках конденсатора при його розрядці). У цьому випадку згідно з (23.7) дивергенція j не дорівнює нулю.

4 Щоб рівняння (23.8) і (23.11) були правильними для змінних у часі полів, Максвелл увів у праву частину рівняння (23.11) ще один доданок. Природно, що цей доданок повинен мати розмірність густини струму. Максвелл назвав його густиною струму зміщення. Таким чином, відповідно до припущення Максвелла рівняння (23.11) повинне мати вигляд

rotH = j +    І. (23.14)

Суму струму провідності й струму зміщення називають повним струмом. Густина повного струму дорівнює

іповн = j + ізм . (23.15)

Якщо взяти дивергенцію від обох частин рівняння (23.14), то отримаємо

divj + divj3M = 0, (23.16)

де враховано, що div(rotH) = 0 .

Замінивши в (23.16) divj, згідно з (23.7) через (-dp/dt) отримаємо для дивергенції густини струму зміщення вираз

divj3M =ddp. (23.17) dt

Щоб зв'язати струм зміщення з величинами, що характеризують зміну електричного поля з часом, використаємо співвідношенням (23.2). Продиференціювавши співвідношення (23.2) за часом, отримаємо, що

d divD = dp .

dt dt

Тепер змінимо в лівій частині порядок диференціювання за часом і за координатами. У результаті прийдемо до рівності
~d7f dD ^

 

Підставлення цього виразу у формулу (23.17) дає,

divj3M = div\

 

ЗвідсиdD

JdL


(23.18)Таким чином, відповідно до часом від індукції електричного прийдемо до рівняння


за

поля.

(23.18) густина струму зміщення дорівнює похідній

Підставивши вираз (23.18) у формулу (23.14),Гт j dD
rotH = j +----

dt


(23.19)яке є одним з основних у теорії Максвелла.

Підкреслимо, що термін «струм зміщення» є умовним. По суті, струм зміщення - це доданок, який пов 'язаний з похідною від електричного поля за часом. Підставою для того, щоб назвати «струмом» величину (23.12), є лише те, що розмірність цієї величини збігається з розмірністю густини струму. Із всіх фізичних властивостей, які має струм провідності, струм зміщення має тільки одне - здатність створювати магнітне поле.

Введення струму зміщення «зрівняло в правах» електричне й магнітне поля. З явища електромагнітної індукції випливає, що змінне у часі магнітне поле породжує електричне поле. З рівняння (23.19) випливає, що змінне у часі електричне поле, створює магнітне поле.

5 Проінтегрувавши по поверхні праву й ліву частини рівняння (23.19), використавши теорему Стокса нескладно перейти до інтегрального вигляду теореми (23.19) (порівняйте з

(23.8))іHd1 = Jj

S


J+


dD ~di ds


(23.20)§ 24 Система фундаментальних рівнянь Максвелла диференціальній формі. Матеріальні рівняння [9]


в


інтегральній1 Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі на той час експериментальні факти й передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось з часом. Основним наслідком теорії Максвелла був висновок про існування електромагнітних хвиль, які поширюються зі швидкістю світла. Теоретичне дослідження властивостей цих хвиль привело Максвелла до створення електромагнітної теорії світла.

Основу теорії утворюють рівняння Максвелла. У вченні про електромагнетизм ці рівняння відіграють таку саму роль, як закони Ньютона в механіці або основні закони (принципи) у термодинаміці.

У систему фундаментальних рівнянь Максвелла входить чотири рівняння. В інтегральній формі вони мають такий вигляд:J Ш =\{j + dD У


5


(24.1)Edl = -\—dS; (24.2)

G            S &

D dS = q ; (24.3)

S

)BdS = 0 . (24.4)

S

Диференціальна форма цих рівнянь:

 

rotH = j + —; (24.5)

dt

r

rotE = - ; (24.6) dt

divD = p ; (24.7)

divB = 0. (24.8)

Рівняння (24.1) та (24.5) - теорема про циркуляцію магнітного поля, яка була доповнена Максвеллом струмом зміщення. Фізична сутність цих рівнянь: електричні струми та змінне у часі електричне поле створюють магнітне поле.

Рівняння (24.2) та (24.6) - закон електромагнітної індукції. Фізична сутність цих рівнянь: змінне у часі магнітне поле створює вихрове електричне поле.

Рівняння (24.3) та (24.7) - теорема Гаусса для електричного поля у речовині. Фізична сутність цих рівнянь: електричні заряди є джерелами електричного поля.

Рівняння (24.4) та (24.8) - теорема Гаусса для магнітного поля. Фізична сутність цих рівнянь: магнітні заряди у природі відсутні.

До фундаментальних рівнянь не включено рівняння неперервності, яке виражає закон збереження електричного заряду, тому, що це рівняння є наслідком рівнянь (24.1) і (24.3) (або (24.5) й (24.7)).

2 Фундаментальні рівняння Максвелла у формі (24.1)-(24.4) або (24.5)-(24.8) не утворюють ще повної системи рівнянь електромагнітного поля. Серед них два векторних рівняння і два скалярних. Якщо їх записати у координатній формі, то отримаємо всього вісім

рівнянь, що пов'язують 16 величин: п'ятнадцять складових векторів E, D, B, H, j і скаляр p . Ясно, що для 16 величин вісім рівнянь недостатньо. Фундаментальні рівняння Максвелла не містять ніяких сталих, що характеризують властивості середовища, у якій збуджено електромагнітне поле. Необхідно доповнити ці рівняння такими співвідношеннями, у які входили б величини, що характеризують індивідуальні властивості середовища. Ці співвідношення називають матеріальними рівняннями.

Найбільш прості матеріальні рівняння у випадку слабких електромагнітних полів, що порівняно повільно змінюються у просторі й часі. У цьому випадку для ізотропних неферомагнітних і несегнетоелектричних середовищ матеріальні рівняння можуть бути записані у такому вигляді:

D = SosE, B = momH, j = sE, (24.9)

де e, m, s - сталі, що характеризують електромагнітні властивості середовища. Вони називаються діелектричною й магнітною проникністю й електричною провідністю середовища.

Сукупність фундаментальних і матеріальних рівнянь складають повну систему рівнянь Максвелла. Ця система повністю описує електромагнітне поле. Вона дозволяє за відомими початковими і граничними умовами визначити електромагнітне поле й причому єдиним способом.РОЗДІЛ 2 КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

 

ТЕМА 5 КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ

§ 25 Гармонічні коливання та їх характеристики. Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Зміна енергії при гармонічному коливанні [5]

1  Загальні відомості про коливання. Коливаннями називаються рухи або процеси, що так чи інакше повторюються у часі. Таку властивість мають, наприклад, рух маятника годинника, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача й т. п.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ