О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

Коливання часто зустрічаються в природі й техніці. Коливання можуть бути різної природи, наприклад, механічними, електромагнітними і т. д.

Залежно від характеру впливу на коливальну систему розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання й параметричні коливання.

Вільними, або власними називаються такі коливання, що відбуваються в системі, яка надана сама собі, після виведення її з положення рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, яка підвішена на нитці (маятник). Для того щоб викликати коливання, можна або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її.

Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє зовнішня періодична сила. Прикладом є коливання моста, які виникають при проходженні по ньому людей, що крокують у ногу.

Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливальну систему зовнішньої сили, однак моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самою коливальною системою, тобто система сама керує зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, у яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини. При цьому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

При параметричних коливаннях за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи. Наприклад, періодично може змінюватися довжина нитки, до якого підвішена кулька, що виконує коливання, або ємність конденсатора, яка включена в коливальний контур.

Найпростішими є гармонічні коливання, тобто такі коливання, при яких коливальна величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей вид коливань особливо важливий через такі причини: по-перше, коливання в природі й техніці часто мають характер, дуже близький до гармонічних коливань, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути подані як суперпозиція декількох гармонічних коливань.

2  Гармонічні коливання та їх характеристики. У випадку гармонічних коливань зміни з часом коливальної величини x описуються формулою

x = Acos(co0t + a) або x = A sin(co0t + a).                                      (25Л)

Надалі ми будемо віддавати перевагу запису гармонічних коливань за допомогою косинуса.

Величина x характеризує зміщення величини, що коливається, від положення рівноваги і називається зміщенням.

Найбільше значення величини, що коливається, називається амплітудою коливань. Амплітуда A - стала додатна величина. Надалі, крім букви A, ми будемо позначати амплітуду символом коливальної величини з індексом m , наприклад, xm .

Величина (co0t + a), що стоїть під знаком косинуса (або синуса), називається фазою коливань.Стала величина a - значення фази в момент часу t = 0 - називається початковою фазою коливань. Через те що значення x не змінюється при додаванні або відніманні з фази цілого числа 2p, завжди можна виконати умову, щоб початкова фаза була за модулем менше p. Тому, як правило, розглядаються тільки значення a, що лежать у межах від - p до + p.

Найменший проміжок часу, через який коливальна величина повертається у вихідне положення, називається періодом коливань T. Оскільки косинус - періодична функція з періодом 2p, то однаковим станам коливальної системи, що повторюються через період T, відповідає зміна фази на 2p. Звідси знаходимо, що

[co0 (t + T )+a)] = (co0t + a)+ 2p,

або

T = 2p/ cop j. (25.2)

Кількість коливань в одиницю часу називається частотою коливань v. Очевидно, що частота v пов'язана з періодом коливань T співвідношенням

v = 1/T \. (25.3)

Частоту вимірюють в системі СІ в 1/с, або герцах (Гц), 1 Гц=1 с-1. З (25.2) випливає, що

cQq = 2p / T|. (25.4)

Величину co0 з співвідношення (25.1) називають круговою, або циклічною, частотою. Вона пов'язана зі звичайною частотою v співвідношенням

га0 = 2pv . (25.5)

3 Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Розглянемо тіло, що виконує коливання уздовж осі X . У цьому випадку вираз

x = A cos(co0t + a) (25.6)

визначає зміщення тіла відносно положення рівноваги.

Продиференціюємо (25.6) за часом і отримаємо вираз для проекції швидкості тіла на вісь X:

ux = x = -Aco0 sin(co01 + a)= Aco0 cos(co01 + a + p/2). (25.7)

Із цієї формули випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, причому амплітуда швидкості дорівнює Ac 0. З порівняння виразів (25.6) і (25.7) випливає, що

швидкість випереджає зміщення за фазою на p / 2 .

Продиференціюємо (25.7) ще раз за часом і знайдемо вираз для проекції прискорення на вісь X:

ax = x = -Aco2, cos(co0t + a)= Acop cos(co0t + a + p). (25.8)

Порівнюючи (25.8) з (25.6), можна зробити висновок, що прискорення й зміщення знаходяться у протилежних фазах (різниця відповідних фаз дорівнює p). Це означає, що в той момент, коли зміщення досягає найбільшого додатного значення, прискорення досягає найбільшого за модулем від'ємного значення і навпаки.

Замінимо у (25.8) Acos(co0t + a) через x (див. (25.6) і отримаємоc 02 x , або

x + Ш2, x = 0

(25.9)

Співвідношення (25.9) називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань.

Очевидно, що функція (25.6) є загальним розв'язком цього рівняння. Величини A й a -довільні сталі, значення яких для кожного конкретного коливання визначаються з початкових умов. У всіх випадках, коли з'ясовується, що деяка величина x задовольняєрівнянню х + bx = 0 (де b > О), можна стверджувати, що ця величина змінюється з часом за гармонічним законом, причому корінь із b дає кругову частоту коливань.

4 Зміна енергії при гармонічному коливанні. Визначимо силу F, що діє на тіло масою m, яке виконує гармонічні коливання. Відповідно до другого закону Ньютона проекція сили на вісь X дорівнює Fx = mx. Скориставшись співвідношенням (25.9), отримаємо, що

Fx =-mw02х = -kx, (25.10)

де

k = m&l. (25.11)

Таким чином, сила пропорційна зміщенню. Знак мінус означає, що напрями сили й зміщення протилежні. Умові (25.10) задовольняє сила пружності. Тому сили, що мають вигляд (25.10), незалежно від їх природи називають квазіпружними.

Квазіпружна сила обумовлює наявність у тіла потенціальної енергії

 

Wp =      =         cos2 (w0t + a). (25.12)

Кінетична енергія тілаmA2w2

mx      mA ш0.2/          \ ,„„„ч

Wk =~2~ = —2~^sin2 (w0t + a). (25.13)

Як відомо, повна енергія системи дорівнює сумі потенціальної та кінетичної енергій. Склавши вирази (25.12) і (25.13) і взявши до уваги рівність (25.11), отримуємо для повної енергії системи виразО     О ООО

W = Wk + Wp = 2-0"(cos 0t + a)+ si^ (w0t + a)) = —• 1 = —^- = const


(25.14)Таким чином, у процесі коливань повна енергія системи залишається постійною, відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну й навпаки.

 

 

§ 26 Періоди коливань фізичного, математичного та пружинного маятників [5]

1 Пружинний маятник. Пружинним маятником називається система, що складається з тіла маси m, яке підвішене на невагомій пружині жорсткості k (рис. 26.1). У стані рівноваги сила тяжіння mg , яка діє на тіло масою m , врівноважується пружною

силою М/0:

mg = kDl0, (26.1)

де Al0 - видовження пружини. Будемо характеризувати зміщення тіла від положення

рівноваги координатою x, причому вісь X направимо вертикально вниз, а нуль осі розмістимо у положенні рівноваги (див. рис. 26.1). Якщо змістити тіло в положення, яке характеризується координатою x, то видовження пружини стане дорівнювати Al0 + x і проекція на вісь X результуючої сили, що діє на тіло, набуде значення

Fx = mg - k (Al0 + x) .

Врахувавши умову (26.1), отримаємо, що

Fx = -kx. (26.2)

Отже, результуюча сили тяжіння й пружної сили має характер квазіпружної сили.
Змістимо тіло на відстань x = A від положення рівноваги і відпустимо. Під дією квазіпружної сили тіло почне рухатися у напрямку положення рівноваги з усе зростаючою швидкістю x. При цьому потенціальна енергія системи буде зменшуватись, але натомість з'явиться все зростаюча кінетична енергія

Wk = mxx2 / 2 (масою пружини нехтуємо). Пройшовши

через положення рівноваги, тіло буде рухатися далі за інерцією. Цей рух припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перетвориться в потенціальну, тобто коли зміщення тіла стане дорівнювати (-A) . Потім такі ж перетворення енергії будуть відбуватися при русі тіла у зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, енергія системи повинна зберігатися, й тіло буде рухатися в межах від x = A до x = -A необмежено довго.

mx

Знайдемо рівняння, яке описує рух тіла у пружинному маятнику. Для цього використаємо рівняння другого закону Ньютона з урахуванням (26.2) і отримаємо

-kx ,x + (k / m)x = 0

(26.3)

x = A cos(w0t + a)

(k /m) > 0. Ми прийшли до диференціального рівняння гармонічних коливань. Відомо, що розв'язком цього рівняння є функція

о       :      7          ті

(26.4)

де циклічна частота
Vk / m


(26.5а)Таким чином, тіло буде виконувати гармонічні коливання відносно положення рівноваги, які описуються співвідношенням (26.4). Частота цих коливань визначається (26.5а) і буде тим більша, чим більша жорсткість пружини k й чим менша маса тіла m . Період коливань пружинного маятника можна знайти, використовуючи формулу (26.5а),T = 2p / ш0 = 2лл/ m / k


(26.5б)2 Математичний маятник. Математичним маятником називають систему, яка складається з невагомої нитки, що не розтягується, до якої підвішене тіло, яке можна вважати матеріальною точкою. Досить гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці.

Відхилення маятника від положення рівноваги природно характеризувати кутом ф, який утворює нитка з вертикаллю (рис. 26.2). Тіло рухається під дією сили тяжіння mg та

сили натягу нитки FH. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут ф виникає момент сили тяжіння відносно осі обертання O, модуль якого дорівнює mgl sin ф ( m - маса, а l - довжина маятника, l sin ф - плече сили mg). Плече сили натягу нитки при цьому

дорівнює нулю тому, що лінія сили FH проходить через точку обертання O. Звідси випливає,

що і момент сили натягу нитки також дорівнює нулю. Таким чином, результуючий момент сил визначається моментом сили тяжіння. Дія моменту сил спрямована так, щоб повернутимаятник у положення рівноваги. Подібне відбувається і у випадку квазіпружної сили. Через це результуючому моменту M й кутовому зміщенню ф потрібно приписувати протилежні знаки. Отже, вираз для результуючого моменту сили, що діє на математичний маятник, має вигляд

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ