О В Лисенко - Фізика конспект лекцій - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 

M = -mgl sin ф .                                                          (26.6)

о /

/

Використаємо для маятника рівняння динаміки обертального руху Ib = M . Позначивши кутове прискорення через b = Ф, і, врахувавши, що момент інерції матеріальної точки дорівнює I = ml2 , отримуємо співвідношення

/

ml2 ф = -mgl sin ф, яке можна звести до вигляду

ф + (g / l)sin ф = 0.                          (26.7) /

mg

Рисунок 26.2 - Математич­ний маятник: l sin ф - плече

сили  mg; плече сили FH дорівнює  нулю  тому, що лінія  сили   FH проходить через точку обертання о малих коливаннях кутове

У випадку малих коливань ф<< 1 і sin ф»ф. Тоді рівняння (26.7) набере вигляду

ф + (g /1 = 0ІІ. (26.8)

Таким чином, ми знову прийшли до диференціального рівняння гармонічних коливань. Його розв'язком є функція

ф = фт cos(c0(/ + a)

(26.9)

де  фт  - амплітуда коливань (найбільший кут, на який відхиляється маятник від положення рівноваги). Отже, при

відхилення математичного маятника змінюється з часом за гармонічним законом.

З порівняння рівнянь (26.8) і рівняння гармонічних коливань отримуємо для циклічної частоти математичного маятника вираз
(26.10)з якого випливає, що частота коливань математичного маятника залежить тільки від довжини маятника й прискорення вільного падіння й не залежить від маси маятника. Період коливань математичного маятника буде дорівнювати

T = 2p / co0 = 2%yfl7g

Чим довший маятник, тим повільніше він коливається.

3 Фізичний      маятник.      Фізичним маятником

називається тверде тіло, що може обертатися під дією сили відносно нерухомої осі, що не проходить через центр тяжіння тіла. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут ф виникає момент сили, що прагне повернути маятник у положення рівноваги. Цей момент дорівнює

M = -mgl sin ф, (26.12)

де m - маса маятника, а l - відстань від точки підвісу о до центра мас маятника C (рис. 26.3). Знак мінус пов'язаний з тим, що момент сили діє так, щоб повернути тверде тіло у положення рівноваги.

Позначивши момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку підвісу о , через I , можна написати

Іф = -mgl sin ф.                                (26.13)


(26.11)У випадку малих коливань ( ф «1 рівняння гармонічних коливань:


sin ф » ф ) рівняння (26.13) переходить у диференціальнеф + С0()ф = 0


(26.14)(26.15)

З формул (26.14) і (26.15) випливає, що при малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник виконує гармонічні коливання, частота яких залежить від маси маятника, моменту інерції маятника відносно осі підвісу й відстані від точки O підвісу до центра мас C маятника. Використовуючи (26.15) неважко знайти період коливань фізичного маятника:T = 2p / ш0 = 2Kyjl / mgl

За теоремою Штейнера момент інерції маятника I


(26.16)

може бути поданий у вигляді
IC
+ ml2.де IC - момент інерції відносно осі, яка паралельна осі підвісу й проходить через центр мас C . Тоді циклічна частота (26.15) й період коливань (26.16) можуть бути подані у виглядіС0


^mgl/(Ic + ml і )j, \t = 2nyl(lc + ml2 )/(mgl)


(26.17)§ 27 Електричний коливальний контур. Частота коливань [5]

1 При розгляді електричних коливань ми маємо справу зі струмами, що змінюються у часі. Закон Ома й правила Кірхгофа були встановлені для постійного струму. Однак вони залишаються справедливими й для миттєвих значень змінних струмів і напруг, якщо тільки їх зміни відбуваються не занадто швидко. Електромагнітні збурювання поширюються вздовж електричного кола з величезною швидкістю, що дорівнює швидкості світла c. Якщо за час t = l / c (l - довжина кола, c - швидкість світла), який необхідний для передачі збурення в найвіддаленішу точку кола, сила змінного струму майже не змінюється, то миттєві значення сили струму у всіх перерізах кола можна вважати однаковими. Струми, що задовольняють таку умову, називаються квазістаціонарними. Для періодично змінних струмів умова квазістаціонарності має вигляд

t = l / c << T

де T - період коливальних процесів. Миттєві значення квазістаціонарних струмів задовольняють закон Ома. Отже, для них справедливі й правила Кірхгофа. При вивченні

електричних коливань квазістаціонарними.

2 Коливальним

складається ємністю C .

Знайдемо рівняння коливань у контурі, в якому опір дорівнює нулю (R = 0). Застосуємо закон Ома для ділянки кола 1-3-2 (див. рис. 27.1):

IR = ф1 2 + Ss. (27.1)

Різницю потенціалів на конденсаторі визначимо із співвідношення

ф1 2 = qx/C = (-q)/C . (27.2)


єТут використали, що заряд пластини конденсатора 1 q1 =-q (див. рис. 27.1).

Сила струму I є додатною, коли напрям струму співпадає з напрямом обходу ділянки кола 1-3-2, тобто за годинниковою стрілкою. В цьому разі заряд на пластині конденсатора q2 = q пов'язаний з силою струму в ділянці кола наступним співвідношенням

I = +dq / dt = +q . (27.3)

Знак «+» обумовлений тим, що, коли струм I є додатним, заряд q2 = q збільшується ( q > 0).

Підставимо в (27.1) закон самоіндукції Ss = LdI /dt, співвідношення (27.2) й (27.3), умову R = 0 й отримуємо

0 = — q/ C Lq. (27.4)

диференціального рівняння

до

Далі, виконавши прості перетворення, прийдемо гармонічних коливань

q + (1/(LC ))q = 0

(27.3)Таким чином, заряд на обкладках конденсатора змінюється за гармонічним законом

||q = qm cOSW + а)|


(27.4)с частотою
= 1/VLC


(27.5)Ця частота називається власною частотою контуру. Для періоду коливань знаходимо так звану формулу Томсона:

T = 4ЪС ||. (27.6)

Зрозуміло, що напруга на конденсаторі та сила струму в коливальному контурі також змінюються за гармонічним законом.§ 28 Векторна діаграма. Додавання двох гармонічних коливань й частоти [5]

1 Розгляд багатьох питань, зокрема додавання декількох гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти, значно полегшується й стає наочним, якщо зображувати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Схема, в якій коливання зображуються графічно у вигляді векторів на площині, називається векторною діаграмою.

Візьмемо вісь X, уздовж якої будемо відкладати коливальну величину x (рис. 28.1). З узятої на осі точки O відкладемо вектор довжиною A , що утворює із віссю X кут а. Якщо обертати цей вектор з кутовою швидкістю со0 відносно точки O, то

A    на   вісь   X буде

проекція кінця вектора змінюватись за законом


одного напрямкуx = A cos(co0t + а).


(28.1)а

Таким чином, гармонічне коливання може бути заданим за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям утворює з віссю X кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Схема, яка зображена на рис. 28.1, є векторною діаграмою гармонічного коливання (28.1).
2 Розглянемо додавання двох гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Знайдемо параметри результуючого коливання x, яке буде сумою коливань x1 і x2, які визначаються функціями

= A1 cos(co0t + a1),

x2 = A2cos(co0t + a2). (28.2)

З фізичних міркувань зрозуміло, що результуюче коливання

коливанням і коливання

з частотою x,  та  x2),

x = x1 + x2 (28.3)

буде гармонічним коливань   c 0 (як

амплітудою A та початковою фазою a:

x = A cos(co0t + a). (28.4)

Таким чином, задача про додавання двох гармонічних   коливань   одного   напрямку й

однакової частоти зводиться до знаходження невідомої амплітуди початкової фази a результуючого коливання x.Використаємо метод векторних діаграм. Подамо обидва коливання за допомогоювекторів


Ai і


A2 (рис. 28.2). Побудуємо за правилами додавання векторів результуючийвектор A . З рисунка випливає, що проекція цього вектора на вісь X дорівнює сумі проекцій векторів, що додаються: x = x1 + x2, що збігається з (28.3). Отже, вектор A пов'язаний з результуючим коливанням x. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю ш0, як і

вектори A1 й A2. Тобто, сума x1 і x2 є гармонічним коливанням із частотою ш0, амплітудою

A й початковою фазою a.

Визначимо невідомі амплітуду A й початкову фазу a результуючого коливання x , виходячи з геометричних міркувань (див. рис. 28.2). Розглянемо трикутник DOMK, застосуємо теорему косинусів і одержимо
(28.5)

y2   та  xl, x2

A2, відповідно на осі Y, X неважко знайти з трикутника DOBK наУ1 + У2 = A1 sin a1 + A2 sin a 2 x1 + x2    A1cos a1 + A2 cos a 2

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 


Похожие статьи

О В Лисенко - Фізика конспект лекцій

О В Лисенко - Прогнозування технологічної спадковості при токарній овроещ